WisFaq!

Oppervlakteformules cirkel en bol

Hoe kan ik de formules voor de oppervlakte van een cirkel bewijzen uit de omtrekformule? En nog erger... Hoe kan ik in de oppervlakteformule van een bol bewijzen door uit te gaan van de bolinhoud en door gebruik te maken van de inhoudsformule van kegels? ik begrijp niet

Sorban Milhoofd
7-5-2003

Antwoord

Dergelijke problemen worden vaak op een 'infinitesimale' manier opgelost, door te rekenen met hele kleine grootheden. Komt misschien een beetje raar over in het begin, maar uiteindelijk hebben ze je het integreren zelf ook zo aangeleerd.

Oppervlakte van een cirkel

Neem een cirkel en verdeel hem in 'oneindig dunne', concentrische ringetjes met dikte dr.Een zo een ringetje heeft een oppervlakte van ongeveer

dA = dr x omtrek ringetje = dr x 2$\pi$r

Integreren levert dan

A = ₀$\int{}$^R2$\pi$rdr = $\pi$R²

Oppervlakte van een bol

Nu werken we omgekeerd. We verdelen de bol in allemaal in mekaar passende 'schilletjes' bol met dikte dr (het zijn wel geen 'bolschillen' maar het woord 'schilletjes' zegt zo mooi wat ik bedoel). Stel dat de oppervlakte van zo een schilletje zou gegeven worden door A(r). Dan is door een zeer analoge redenerig als hier boven

dV = dr x A(r)
A(r)=dV/dr
(voor elke r dus ook voor r=R)

Aangezien we nu veronderstellen dat we weten dat √(R) = $\frac{4}{3}\pi$R³, volgt dat A(R) = 4$\pi$R²

cl
8-5-2003