WisFaq!

Integreren of inhoud

he,
twee vraagjes eigelijk. Ik heb de functie x+e^-x
V word gewenteld om de x as waadoor het omwentelingd lichaam l ontstaat. Bereken de inhoud van l V is het vlakdeel ingesloten door F de x-as, de y-as en de lijn x=-1

Ik ben tot zover gekomen:
p¦[x+e^-x]²
en dat is x²+2xe^-x+[e^-x]²
dat is dan dus de functie die je moet primitiveren, maar hoe krijg je dat bij deze functie voor elkaar?? Daar kom ik niet uit. [ hij word gewenteld om de x-as]

en nog eentje.

De ellips R met de vergelijking x² + ((y-3)²)/4)=1
daarvan moet ik wederom de inhoud bereken. Ook deze draait om de x-as . Je moet dus eerst alles aan 1 kant krijgen dus de x aan 1 kant en de y aan een kant.
Ik krijg dan het volgende [ stap voor stap]
1-x²=(y-3)²/4
4-4x²=(y-3)²
Ö4-4x²= y-3
3+Ö4-4x²= y
Nu ook weer het in het kwadraat doen, waar ik dus uitkom op
9+6Ö4-4x²+ 4-4x²
dan dus de primitieve bereken en daar gaat het fout, met name 6Ö4-4x² daar kom ik niet uit

alvast bedankt voor de uitleg

Jeroen Bartol
20-4-2003

Antwoord

Wat de eerste integraal betreft: de stukjes x² en e^-2x zijn geen probleem.
Blijft dus over ò 2xe^-x dx.
Dat pak je aan met de methode van de partiële integratie.

ò 2xd[-e^-x] = -2x.e^-x + ò e^-xd[2x] en dan ben je er wel uit, denk ik.

Voor de tweede integraal doe je er in ieder geval verstandig aan om gebruik te maken van de symmetrie van de ellips. In plaats van te integreren van -1 tot 1, kun je net zo goed van 0 tot 1 integreren en dan vervolgens het eindresultaat verdubbelen. Overigens: op het moment dat je schrijft (y - 3)² = 4 - 4x² moet je niet vergeten dat je enerszijds krijgt y - 3 = Ö(4 - 4x² voor de bovenkant van de ellips en y - 3 = -Ö(4 - 4x²) voor de onderkant.

Maar goed, het gaat je dus om de integraal van Ö(4 - 4x²) , ofwel van 2Ö(1 - x²)
Als je de substitutie x = sin(t) gebruikt, dan krijg je onder de wortel precies 1 - sin²t = cos²t, terwijl dx = cos(t)dt.
Je integraal gaat dus over in ò cos(t).cos(t)dt en daar zul je wel raad mee weten.

MBL
20-4-2003