Je wil de vergelijking $
x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0
$ oplossen. Je kunt snel zien dat $x=1$ een oplossing is door het optellen van de coëfficiënten $a$ t/m $d$. Als daar nul uitkomt weet je dat $x=1$ een oplossing is. Je kunt de coëfficiënten ook om en om optellen en aftrekken. Als daar nul uitkomt weet je dat $x=-1$ een oplossing is.
Voor $
x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0
$ geldt dat zowel 'optellen' als 'om en om optellen' nul geeft. Kennelijk zijn $x=1$ en $x=-1$ oplossingen. In dat geval kan je ontbinden met $x^2-1$. Dat is wel bijzonder....
Los op:
$
x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0
$
Uitwerking:
$1 + 5 + -1 + -5 = 0\to x=1$
$1 - 5 + -1 + 5 = 0\to x=-1$
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$
Maak een staartdeling:
$ \begin{array}{l} x^2 - 1/x^3 + 5x^2 - x - 5\backslash x + 5 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline {x^3 - x} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5x^2 - 5 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline {5x^2 - 5} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \\ \end{array} $
Conclusie:
$ \begin{array}{l} x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0 \\ \left( {x^2 - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0 \\ x^2 - 1 = 0 \vee x + 5 = 0 \\ x = - 1 \vee x = 1 \vee x = - 5 \\ \end{array} $
Opgelost...
