De 'Stelling van Pythagoras' ken je waarschijnlijk wel. Een pythagorasdriehoek is een rechthoekige driehoek, waarvan de lengte van elke zijde een geheel getal is. De bekendste is waarschijnlijk de driehoek met zijden: 3, 4 en 5.
Een andere driehoek die je vaak tegenkomt is een 5-12-13 driehoek.
Om zulke driehoeken te vinden bestaat een formule.
Voor elke p en q geldt dat p²-q², 2pq en p²+q² de drie zijden zijn van een pythagorasdriehoek.
Voorbeeld:
neem p=2 en q=1
dan is p² - q²= 2² - 1²= 4 - 1= 3
2pq = 2 x 2 x 1 = 4
en p² + q² = 2² + 1²= 4 + 1 = 5
We vinden dus de driehoek met de zijden: 3. 4 en 5.
Maar die kenden we natuurlijk al.
- Neem p=3 en q=2. Welke driehoek krijg je dan ?
- p moet groter zijn dan q. Waarom ?
- Zoek zelf nog 4 van zulke pythagorasdriehoeken en controleer je antwoorden met je rekenmachine.
Sommige pythagorasdriehoeken die je op deze manier kunt vinden zijn niet veel anders dan een 'veelvoud' van een kleinere driehoek. Neem je bijvoorbeeld p=4 en q=2 dan vind je de 12-16-20 driehoek, dat is een driehoek met dezelfde vorm als de 3-4-5 driehoek.
Vul in:
| p²-q² |
3 |
12 |
... |
... |
... |
| 2pq |
4 |
16 |
... |
64 |
... |
| p²+q² |
5 |
20 |
45 |
... |
125 |
|
| p |
2 |
4 |
... |
... |
... |
| q |
1 |
2 |
3 |
... |
... |
- Kan p=1/2 en q=1/4 zijn ? Is dat ook een 3-4-5 driehoek ?
- Bereken p en q voor een 15-20-25 driehoek.
- Bewijs dat de p-q-formules kloppen voor elke p>q
