Voorbeeld
55% van alle Nederlanders eet wel eens patat(P), 40% eet wel eens een frikadel (F), en 35% eet nooit patat en nooit een frikadel.
-
Bereken de kans dat iemand patat eet en/of een frikadel.
-
Bereken de kans dat iemand zowel patat eet als ook frikadel eet.
-
Sluiten de gebeurtenissen patat eten P en frikadel eten F elkaar uit? Hoe weet je dat?
Uitwerking
Een handig hulpmiddel bij dit soort vragen is het maken van een kanstabel. Laat ik die maar eens invullen:
Heb ik nu voldoende informatie om de gehele tabel verder in te vullen? Ik dacht het wel:
Met deze tabel kan je bovenstaande vragen beantwoorden.
-
P(P of F)=0,65
-
P(P en F)=0,3
-
Nee, want dan zou P(P en F)=0 moeten zijn.
Afhankelijk of onafhankelijk
Als voor twee gebeurtenissen A en B geldt dat P(A|B)=P(A) of P(B|A)=P(B) dan heten de gebeurtenissen A en B onafhankelijk (mits de kansen niet nul zijn!).
Je gooit met een munt en een dobbelsteen. De gebeurtenis 'ik gooi kop' noem ik M en de gebeurtenis 'ik gooi 5' noem ik D. Nu mag je verwachten dat P(M|D)=P(M). Het gooien van een 5 heeft immers geen invloed op het gooien van kop of munt! Enz..
Zijn nu de gebeurtenissen F en P (in het voorbeeld hierboven) onafhankelijk?
-
P(F|P)=0,3/0,55=0,545..
-
P(F)=0,4
of
-
P(P|F)=0,3/0,4=0,75
-
P(P)=0,55
P en F zijn niet onafhankelijk.
Een andere manier om daar snel achter te komen is de vaststelling dat als F en P onafhankelijk zijn als geldt:
P(F en P)=P(F)·P(P)
Hier zou moeten gelden: 0,3=0,4·0,55? En dat is niet het geval!
Wat als...
Kijken we eens naar onderstaande tabel en laten we ons eens afvragen wat er in de 'gele' vakjes zou moeten staan als F en P wel onafhankelijk zouden zijn:
Hierbij kan je gebruik maken van deze regel:
Als P(F en P)=P(F)·P(P) dan zijn F en P onafhankelijk.
Dus P(F en P)=0,4·0,55=0,22...
...en daarmee kan je rest van de tabel ook invullen:
Nog even controleren of dit inderdaad klopt met wat eerder is opgemerkt over P(F|P), P(F), P(P|F) en P(P):
-
P(F|P)=0,22/0,55=0,4
-
P(F)=0,4
of
-
P(P|F)=0,22/0,4=0,55
-
P(P)=0,55
En ja hoor: het klopt!
Maar wat wil dat dan eigenlijk zeggen 'onafhankelijk'? Wel nu: de kansen in de kolommen zijn (relatief gezien) hetzelfde als de kansen in de totaalkolom en de kansen in de rijen zijn (relatief) gezien hetzelfde als de kansen in de totaalrij!
Voorbeeld
We gooien met twee dobbelstenen rood (r) en blauw (b).
Gebeurtenis A: r=b
Gebeurtenis B: r+b=9
-
Bereken P(A) en P(B)
-
Bereken P(A of B)
-
Zijn A en B onafhankelijk?
Antwoorden
-
P(A)=1/6
P(B)=1/9
-
P(A of B)=)=1/6+1/9=5/18 (disjunct)
-
Nee, P(A en B) $\ne$ P(A)·P(B)
Voorbeeld 2
We gooien met twee dobbelstenen rood (r) en blauw (b).
Gebeurtenis A: r+b$\geq$8
Gebeurtenis B: |r-b|$\leq$2
-
Bereken P(A) en P(B)
-
Bereken P(A of B)
-
Bereken P(A en B)
-
Zijn A en B onafhankelijk?
Antwoord
-
P(A)=5/12
P(B)=2/3
-
P(A of B)=28/36=7/9
-
P(A en B)=11/36
-
Nee, P(A en B) $\ne$ P(A)·P(B)
Opmerking
"..of ze fysisch onafhankelijk zijn is niet nagegaan. Dat is geen nalatigheid. Door het vastleggen van een begrip in een definitie is deze definitie het enige uitgangspunt. Alle andere overwegingen of gevoelens zijn overbodig, ja sterker nog: ongewenst."
bron: mathematische statistiek - Wolters-Noordhoff - 1977
F.A.Q.
