Op deze pagina kan je uitleg vinden over het oplossen van logaritmische vergelijkingen. Gebruik hiervoor het overzicht van de rekenregels voor machten en logaritmen.
I.
$2·\log(x-2)-\log(x+4)=0$
Antwoord: $x=5$
Er zijn twee belangrijke regels voor het werken met logaritmen. Dat zijn de regels L0 en L3. De regel L0 gaat er over dat als je twee getallen vermenigvuldigt dan kan je de logaritmen optellen. Of ook als je deelt dan aftrekken...
De regel L3 gaat over exponenten. Die 2 voor de logaritme is een exponenten in de logaritme. In dit geval doe ik eerste regel L3 en dan regel L0.
Daarnaast gebruik je nog de (hoofd-)regel L1.
$\eqalign{
& 2 \cdot \log (x - 2) - \log (x + 4) = 0 \cr
& L3 \cr
& \log {(x - 2)^2} - \log (x + 4) = 0 \cr
& L0 \cr
& \log \frac{{{{(x - 2)}^2}}}{{x + 4}} = 0 \cr
& L1 \cr
& \frac{{{{(x - 2)}^2}}}{{x + 4}} = 1 \cr
& {(x - 2)^2} = x + 4 \cr
& {x^2} - 4x + 4 = x + 4 \cr
& {x^2} - 5x = 0 \cr
& x(x - 5) = 0 \cr
& x = 0\,\,(v.n.)\,\,of\,\,x = 5 \cr
& x = 5 \cr} $
II.
$\log_y(y+2)=-1$
Antwoord: $y=-1+√2$
Bij eenvoudige uitdrukkingen als deze zal het wel vaak de hoofdregel weze...:-) Regel L1 dus.
$\eqalign{
& {\log _y}(y + 2) = - 1 \cr
& L1 \cr
& y + 2 = {y^{ - 1}} \cr
& y + 2 = \frac{1}{y} \cr
& {y^2} + 2y = 1 \cr
& {y^2} + 2y - 1 = 0 \cr
& {(y + 1)^2} - 2 = 0 \cr
& y = - 1 - \sqrt 2 \,\,(v.n.)\,\,of\,\,x = - 1 + \sqrt 2 \cr
& y = - 1 + \sqrt 2 \cr} $
III.
$\log_2(2b^3)=3·\log_2(b)-\log_2(b+1)$
Antwoord: geen oplossing omdat deze niet aan de voorwaarden voldoet, maar hoe komen ze aan de uitkomsten van de vergelijking?
Het is weer L0 en L3. Probeer de vergelijking om te werken naar iets als:
Je weet dan:
In dit geval gaat dat zo:
$\eqalign{
& {\log _2}(2{b^3}) = 3 \cdot {\log _2}(b) - {\log _2}(b + 1) \cr
& L3 \cr
& {\log _2}(2{b^3}) = {\log _2}({b^3}) - {\log _2}(b + 1) \cr
& L0 \cr
& {\log _2}(2{b^3}) = {\log _2}\left( {\frac{{{b^3}}}{{b + 1}}} \right) \cr
& 2b{}^3 = \frac{{{b^3}}}{{b + 1}} \cr
& 2{b^3}(b + 1) = {b^3} \cr
& 2{b^4} + 2{b^3} = {b^3} \cr
& 2{b^4} + {b^3} = 0 \cr
& {b^3}(2b + 1) = 0 \cr
& b = 0\,\,(v.n.) \vee b = - \frac{1}{2}\,\,(v.n.) \cr
& {\text{geen}}\,\,{\text{oplossing}} \cr} $
IV.
$\log_{2x-1}(7x+104)=3$
Antwoord: $x=3$
Dat is hetzelfde als bij II. Je krijgt wel een derdegraadsvergelijking maar in België weet iedereen hoe je die oplost...:-)
$\eqalign{
& {\log _{2x - 1}}(7x + 104) = 3 \cr
& 7x + 104 = {\left( {2x - 1} \right)^3} \cr
& 8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 = 7x + 104 \cr
& 8{x^3} - 12{x^2} - x - 105 = 0 \cr
& (x - 3)(8{x^2} + 12x + 35) = 0 \cr
& x = 3 \cr} $
V.
$\ln(x+2)-\ln(e+1)=\ln(x)$
Antwoord: $x=\frac{2}{e}$
Dat wordt L0 weer...
$\eqalign{
& \ln (x + 2) - \ln (e + 1) = \ln (x) \cr
& L3 \cr
& \ln \left( {\frac{{x + 2}}{{e + 1}}} \right) = \ln (x) \cr
& \frac{{x + 2}}{{e + 1}} = x \cr
& x + 2 = x(e + 1) \cr
& x + 2 = ex + x \cr
& 2 = ex \cr
& x = \frac{2}{e} \cr} $
VI.
$3·5^{5+5x}=2$
Antwoord: $x=?$
Dat is hetzelfde als de rest maar dan andersom...:-)
Neem links en rechts de logaritme en doe als boven.
$\eqalign{
& 3 \cdot {5^{5 + 5x}} = 2 \cr
& {\log _5}\left( {3 \cdot {5^{5 + 5x}}} \right) = {\log _5}(2) \cr
& L0 \cr
& {\log _5}\left( 3 \right) + {\log _5}\left( {{5^{5 + 5x}}} \right) = {\log _5}(2) \cr
& L3 \cr
& {\log _5}\left( 3 \right) + \left( {5 + 5x} \right){\log _5}\left( 5 \right) = {\log _5}(2) \cr
& \left( {5 + 5x} \right){\log _5}\left( 5 \right) = {\log _5}(2) - {\log _5}(3) \cr
& 5 + 5x = \frac{{{{\log }_5}(2) - {{\log }_5}(3)}}{{{{\log }_5}\left( 5 \right)}} \cr
& 5x = \frac{{{{\log }_5}(2) - {{\log }_5}(3)}}{{{{\log }_5}\left( 5 \right)}} - 5 \cr
& x = \frac{{{{\log }_5}(2) - {{\log }_5}(3)}}{{5 \cdot {{\log }_5}\left( 5 \right)}} - 1 \cr} $
Ik kan je antwoord niet meer zien maar die uitdrukking met die logaritmen kan je nog wel anders schrijven, maar 't idee is wel duidelijk, hoop ik...
VII.
$\log_2(4-30x^2)=-2$
Antwoord: $x=\frac{1}{√8}$ en $x=\frac{-1}{√8}$
Op dezelfde manier als boven:
$\eqalign{
& {\log _2}(4 - 30{x^2}) = - 2 \cr
& 4 - 30{x^2} = {2^{ - 2}} \cr
& 4 - 30{x^2} = \frac{1}{4} \cr
& 30{x^2} = 3\frac{3}{4} \cr
& {x^2} = \frac{1}{8} \cr
& x = - \sqrt {\frac{1}{8}} \,\,of\,\,x = \sqrt {\frac{1}{8}} \cr} $
VIII.
$2(\log_4(x-1)-\log_4(x^2+1))=1-\log_4(25)$
Antwoord: geen oplossingen, omdat vergelijking niet voldoet aan de voorwaarden. Maar ik vraag mij wel af hoe ze deze vergelijking uitwerken.
Ook hier geen nieuws:
$\eqalign{
& 2\left( {{{\log }_4}(x - 1) - {{\log }_4}({x^2} + 1} \right)) = 1 - {\log _4}(25) \cr
& L0 \cr
& 2\left( {{{\log }_4}\left( {\frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}} \right)} \right) = {\log _4}(4) - {\log _4}(25) \cr
& L3 \cr
& {\log _4}{\left( {\frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}} \right)^2} = {\log _4}\left( {\frac{4}{{25}}} \right) \cr
& {\left( {\frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}} \right)^2} = \frac{4}{{25}} \cr
& \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}} = - \frac{2}{5} \vee \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}} = \frac{2}{5} \cr
& 2({x^2} + 1) = - 5(x - 1) \vee 2({x^2} + 1) = 5(x - 1) \cr
& 2{x^2} + 2 = - 5x + 5 \vee 2{x^2} + 2 = 5x - 5 \cr
& 2{x^2} + 5x - 3 = 0 \vee 2{x^2} - 5x + 7 = 0\,\,(geen\,\,opl.) \cr
& 2{x^2} + 6x - x - 3 = 0 \cr
& 2x(x + 3) - (x + 3) = 0 \cr
& (2x - 1)(x + 3) = 0 \cr
& 2x = 1 \vee x = - 3 \cr
& x = \frac{1}{2}\,\,(v.n.) \vee x = - 3\,\,(v.n) \cr
& {\text{geen}}\,\,{\text{oplossing}} \cr} $
