Loading jsMath...



Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Standaardintegraal ?

\eqalign{\int {\frac{1} {{V\left( u \right)}}du = } \frac{2} {{\sqrt { - D} }}\arctan \left( {\frac{{V'\left( u \right)}} {{\sqrt { - D} }}} \right) + C }

Waarbij V(u) = au^2  + bu + c en a > 0 .


Voorbeelden


\eqalign{   & \int {\frac{1} {{x^2  + x + 1}}dx = \frac{2} {{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\frac{{2x + 1}} {{\sqrt 3 }}} \right) + C}   \cr   & \int {\frac{1} {{x^2  + 2x + 5}}dx = \frac{2} {4}} \arctan \left( {\frac{{2x + 2}} {4}} \right) + C = \frac{1} {2}\arctan \left( {\frac{{x + 1}} {2}} \right) + C \cr}


Je kunt dan V(u) herschrijven:

\eqalign{   & V(u) = au^2  + bu + c  \cr   & V(u) = au^2  + bu + \frac{{b^2 }} {{4a}} + c - \frac{{b^2 }} {{4a}}  \cr   & V(u) = \left( {au^2  + bu + \frac{{b^2 }} {{4a}}} \right) + \left( {c - \frac{{b^2 }} {{4a}}} \right)  \cr   & V(u) = \left( {\sqrt a  \cdot u + \frac{b} {{2\sqrt a }}} \right)^2  + \left( {c - \frac{{b^2 }} {{4a}}} \right)  \cr   & V(u) = \left( {\frac{{\sqrt a  \cdot u \cdot 2\sqrt a }} {{2\sqrt a }} + \frac{b} {{2\sqrt a }}} \right)^2  + \left( {\frac{{c \cdot 4a}} {{4a}} - \frac{{b^2 }} {{4a}}} \right)  \cr   & V(u) = \left( {\frac{{2au}} {{2\sqrt a }} + \frac{b} {{2\sqrt a }}} \right)^2  + \left( {\frac{{4ac}} {{4a}} - \frac{{b^2 }} {{4a}}} \right)  \cr   & V(u) = \left( {\frac{{2au + b^2 }} {{2\sqrt a }}} \right)^2  + \frac{{4ac - b^2 }} {{4a}} \cr}

Je krijgt dan:

\eqalign{\int {\frac{1} {{V(u)}}du = \int {\frac{1} {{\left( {\frac{{2au + b^2 }} {{2\sqrt a }}} \right)^2  + \frac{{4ac - b^2 }} {{4a}}}}} }}

Omdat D = b^2  - 4ac kun je schrijven:

\eqalign{   & \int {\frac{1} {{V(u)}}du = \int {\frac{1} {{\left( {\frac{{2au + b^2 }} {{2\sqrt a }}} \right)^2  + \frac{{ - D}} {{4a}}}}} }   \cr   & \int {\frac{1} {{V(u)}}du = \int {\frac{1} {{\left( {\frac{{2au + b^2 }} {{2\sqrt a }}} \right)^2  + \frac{{ - D}} {{4a}}}} \cdot \frac{{\frac{{4a}} {{ - D}}}} {{\frac{{4a}} {{ - D}}}}du} }   \cr   & \int {\frac{1} {{V(u)}}du = \frac{{4a}} {{ - D}}\int {\frac{1} {{\frac{{4a}} {{ - D}}\left( {\frac{{2au + b^2 }} {{2\sqrt a }}} \right)^2  + 1}}\,} } du  \cr   & \int {\frac{1} {{V(u)}}du = \frac{{4a}} {{ - D}}\int {\frac{1} {{\left( {\frac{{2\sqrt a }} {{\sqrt { - D} }}\frac{{2au + b^2 }} {{2\sqrt a }}} \right)^2  + 1}}\,} } du  \cr   & \int {\frac{1} {{V(u)}}du = \frac{{4a}} {{ - D}}\int {\frac{1} {{\left( {\frac{{2au + b^2 }} {{\sqrt { - D} }}} \right)^2  + 1}}\,} } du \cr}

Je herkent nu wel de primitieve:

\eqalign{   & \int {\frac{1} {{V(u)}}du = \frac{{\sqrt { - D} }} {{2a}}\frac{{4a}} {{ - D}}\arctan \left( {\frac{{2au + b^2 }} {{\sqrt { - D} }}} \right) + C}   \cr   & \int {\frac{1} {{V(u)}}du = \frac{2} {{\sqrt { - D} }}\arctan \left( {\frac{{2au + b^2 }} {{\sqrt { - D} }}} \right) + C}  \cr}

Er geldt V'(u) = 2au + b dus:

\eqalign{\int {\frac{1} {{V\left( u \right)}}du = } \frac{2} {{\sqrt { - D} }}\arctan \left( {\frac{{V'\left( u \right)}} {{\sqrt { - D} }}} \right) + C }

Waarbij V(u) = au^2  + bu + c en a > 0 .

Als de discriminant niet strikt negatief is dan kan een oplossing gevonden worden door het opsplitsen in partieel breuken.


Voorbeelden


\eqalign{\int {\frac{1} {{x^2  + 4x + 4}}dx = } \int {\frac{1} {{\left( {x + 2} \right)^2 }}dx = }  - \frac{1} {{x + 2}} + C}

\eqalign{\int {\frac{1} {{x^2  - 5x + 6}}dx = } \int {\frac{1} {{(x - 2)(x - 3)}}dx = } \ln (x - 3) - \ln (x - 2)}

bron: sigma


©2004-2025 WisFaq