Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Hulpmiddelen

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Plaatjes en verhalen

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat

Wiskundeleraar


\require{AMSmath}

2. Voor de hand liggende oplossingen

Gegeven: $ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 $

Voor de hand liggende oplossingen zijn er drie gevallen te onderscheiden:

  • Als $a+b+c+d+e=0$
    Je weet dan dat $x=1$ een oplossing is.
  • Als $a+c+e=b+d$
    Je weet dan dat $x=-1$ een oplossing is.
  • Als $b=k·a$,  $c=0$ en $e=k·d$
    Je weet dan dat $x=-k$ een oplossing is.

Voorbeeld 1

Los op: $
x^4  - 6x^3  - 4x^2  + 54x - 45 = 0
$

Er geldt: $1+-6+-4+54+-45=0$, dus je weet dat $x=1$ een oplossing is dus je kunt ontbinden met $x-1$. Dat geeft de volgende uitwerking:

Uitwerking

$
\eqalign{
  & x^4  - 6x^3  - 4x^2  + 54x - 45 = 0  \cr
  & \left( {x - 1} \right)\left( {x^3  - 5x^2  - 9x + 45} \right) = 0  \cr
  & x = 1 \vee x^3  - 5x^2  - 9x + 45 = 0  \cr
  & noot:  \cr
  & x^3  - 5x^2  - 9x + 45 = 0  \cr
  & p =  - \frac{{52}}
{3}  \cr
  & q = \frac{{560}}
{{27}}  \cr
  & W = \frac{{32i\sqrt 3 }}
{3}  \cr
  & x = 5  \cr
  & dus:  \cr
  & x = 1 \vee \left( {x - 5} \right)\left( {x^2  - 9} \right) = 0  \cr
  & x = 1 \vee x = 5 \vee x =  - 3 \vee x = 3 \cr}
$

Voorbeeld 2

Los op: $
x^4  - 4x^3  - 14x^2  + 36x + 45 = 0
$

Er geldt: $1-14+45=-4+36$, dus je weet dan $x=-1$ een oplossing is. Je kunt ontbinden met $x+1)$. Dit geeft de volgende uitwerking:

Uitwerking

$
\eqalign{
  & x^4  - 4x^3  - 14x^2  + 36x + 45 = 0  \cr
  & \left( {x + 1} \right)\left( {x^3  - 5x^2  - 9x + 45} \right) = 0  \cr
  & \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x - 9} \right)^2  = 0  \cr
  & x =  - 1 \vee x = 5 \vee x =  - 3 \vee x = 3 \cr}
$

Voorbeeld 3

Los op: $
x^4  + 2x^3  + 3x + 6 = 0
$

Uitwerking

In 't algemeen:

$
\eqalign{
  & ax^4  + akx^3  + dx + dk =   \cr
  & ax^3 (x + k) + d(x + k) =   \cr
  & \left( {ax^3  + d} \right)(x + k) \cr}
$

In dit geval:

$
\eqalign{
  & x^4  + 2x^3  + 3x + 6 = 0  \cr
  & a = 1  \cr
  & b = 2  \cr
  & c = 0  \cr
  & d = 3  \cr
  & e = 6  \cr
  & k = 2  \cr
  & x^4  + 2x^3  + 3x + 6 = 0  \cr
  & \left( {x^3  + 3} \right)(x + 2) = 0  \cr
  & x = \root 3 \of 3  \vee x =  - 2 \cr}
$

Opgelost...


©2004-2023 WisFaq