\require{AMSmath}

Een familie van functies

Opgave

Gegeven zijn de functies f_c(x)=x³+3cx.

1. Voor welke waarden van c heeft de grafiek van zo'n functie drie nulpunten?
2. Voor welke waarde van c heeft f_c een extremum van 4?
3. Voor welke waarden van c raakt de grafiek van f_c de lijn y=6x?
4. Voor welke waarden van c heeft de lijn met vergelijking y=x precies één punt met de grafiek van f_c gemeen?

Uitwerking

1. Stel f(x)=0
   
   $
   \begin{array}{l}
    x^3  + 3cx = 0 \\
    x(x^2  + 3c) = 0 \\
    x = 0 \vee x^2  + 3c = 0 \\
    x = 0 \vee x^2  =  - 3c \\
    x = 0 \vee x =  - \sqrt { - 3c}  \vee x = \sqrt { - 3c}  \\
    \end{array}
   $
   De wortel van -3c bestaat alleen als -3c$\ge$0, dus c$\le$0. In het geval dat c=0 heb je dan maar 2 oplossingen. Als c$<$0 dan heb je drie oplossingen.
   $ $
2. Bepaal de afgeleide.
   
   $
   \begin{array}{l}
    \left. \begin{array}{l}
    f'_c (x) = 3x^2  + 3c \\
    f'_c (x) = 0 \\
    \end{array} \right\} \Rightarrow  \\
    3x^2  + 3c = 0 \\
    3x^2  =  - 3c \\
    x^2  =  - c \\
    x =  - \sqrt { - c}  \vee x = \sqrt { - c}  \\
    f( - \sqrt { - c} ) = 2\sqrt { - c^3 } \,\,en\,\,f(\sqrt { - c} ) =  - 2\sqrt { - c^3 }  \\ 
    2\sqrt { - c^3 }  = 4 \\
    c =  - \sqrt[3]{4} \\
    \end{array}
   $ 
   $ $
3. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is 6. De afgeleide is dus 6.
   
   $
   \begin{array}{l}
    \left. \begin{array}{l}
    f'_c (x) = 3x^2  + 3c \\
    f'_c (x) = 6 \\
    \end{array} \right\} \Rightarrow  \\
    3x^2  + 3c = 6 \\
    x =  - \sqrt {2 - c}  \vee x = \sqrt {2 - c}  \\
    \end{array}
   $
   Maar 't is een raaklijn dus één oplossing als c=2.
   $ $
4. Als je $y=x^{3}+3cx$ snijdt met $y=x$ dan krijg je:
   $
   x^3  + 3cx = x
   $
   Oplossen geeft:
   $
   x = 0 \vee x =  - \sqrt {1 - 3c}  \vee x = \sqrt {1 - 3c}
   $
   Je hebt dan 1 oplossing voor $1-3c<0$ oftewel: $c>\frac{1}{3}$
   

©2004-2024 WisFaq