\require{AMSmath}

2. Verwachtingswaarde

De meest primaire karakterisering van een stochastische variabele en zijn kansverdeling is de verwachtingswaarde. Dit is een gewogen gemiddelde van alle mogelijke uitkomsten.

Voorbeeld

Een vaas bevat 6 witte en 12 rode balletjes

1. Margriet pakt drie keer met terugleggen een balletje uit de vaas. Bereken de verwachtingwaarde van het aantal witte balletjes dat Magriet pakt.

2. Pieter pakt zonder terugleggen drie balletjes uit de vaas. Bereken de verwachtingswaarde van het aantal witte balletjes dat Pieter pakt.

Uitwerking

Om de verwachtingswaarde van het aantal witte balletjes te berekenen moeten we eerst een kansverdeling maken. De toevalsvariabele (stochast) X is het aantal witte balletjes. In de tabel zetten we dan P(X=k) voor k=0,1,2,3.

1. We hebben hier te maken met terugleggen, dus is dit een voorbeeld van een binomiaal kansexperiment.

   $P(X=0)={3\choose0}\cdot(\frac{1}{3})^0\cdot(\frac{2}{3})^3\approx0,296$
   $P(X=1)={3\choose1}\cdot(\frac{1}{3})^1\cdot(\frac{2}{3})^2\approx0,444$
   $P(X=2)={3\choose2}\cdot(\frac{1}{3})^2\cdot(\frac{2}{3})^1\approx0,222$
   $P(X=3)={3\choose3}\cdot(\frac{1}{3})^3\cdot(\frac{2}{3})^0\approx0,037$

   Zoals je ziet is de som van deze 4 kansen gelijk aan 1.

   Je kunt de verwachtingswaarde uitrekenen door de kansen te vermenigvuldigen met het aantal balletjes en de uitkomsten daarvan op te tellen.

   $E(X)=0,296·0+0,444·1$ + $0,222·2+0.037·3=1$

   (Dit kan sneller: zie 3. Binomiale verdeling)

2. We doen nu nog een keer hetzelfde, alleen met andere kansen...

   $P(X=0)={3\choose0}\cdot\frac{12}{18}\cdot\frac{11}{17}\cdot\frac{10}{16}\approx0,270$
   $P(X=1)={3\choose1}\cdot\frac{6}{18}\cdot\frac{12}{17}\cdot\frac{11}{16}\approx0,485$
   $P(X=2)={3\choose2}\cdot\frac{6}{18}\cdot\frac{5}{17}\cdot\frac{12}{16}\approx0,221$
   $P(X=3)={3\choose3}\cdot\frac{6}{18}\cdot\frac{5}{17}\cdot\frac{4}{16}\approx0,025$

   $E(X)=0,270·0+0,485·1$ + $0,221·2+0.025·3=1$

   ..dus de verwachtingswaarde zonder terugleggen in ook 1.

Algemeen

De verwachting of verwachtingswaarde van een stochast X bereken je door de kansen, P(X=k), te vermenigvuldigen met k en de uitkomsten op te tellen.

F.A.Q.

• Kansverdelingstabel en verwachtingswaarde
• Vazen, ballen, kansen en verwachtingswaarde
• Verwachtingswaarde van het aantal te spelen sets bij tennis

• The Earl of Yarborough

©2004-2024 WisFaq