6. Samengestelde vergelijkingen

Bij samengestelde vergelijkingen  kan je proberen $2^x$ te vervangen door $y$ en dan de vergelijking oplossen naar $y$ en dan terugvertalen naar $2^x$.
 
Voorbeeld 1
 
$
\eqalign{
  & 2^{2x + 1}  - 9 \cdot 2^{x - 1}  + 1 = 0  \cr
  & 2 \cdot 2^{2x}  - \frac{9}
{2} \cdot 2^x  + 1 = 0  \cr
  & 2 \cdot \left( {2^x } \right)^2  - \frac{9}
{2} \cdot 2^x  + 1 = 0  \cr
  & 2y^2  - \frac{9}
{2} \cdot y + 1 = 0  \cr
  & 4y^2  - 9y + 2 = 0  \cr
  & (4y - 1)(y - 2) = 0  \cr
  & y = \frac{1}
{4} \vee y = 2  \cr
  & 2^x  = \frac{1}
{4} \vee 2^x  = 2  \cr
  & x =  - 2 \vee x = 1 \cr}
$
 
Voorbeeld 2
 
$
\eqalign{
  & 4^{x - 1}  + 1 = 5 \cdot 2^{x - 2}   \cr
  & \left( {2^2 } \right)^{x - 1}  - 5 \cdot 2^{x - 2}  + 1 = 0  \cr
  & 2^{2x - 2}  - 5 \cdot 2^{x - 2}  + 1 = 0  \cr
  & 2^{2x}  - 5 \cdot 2^x  + 4 = 0  \cr
  & \left( {2^x } \right)^2  - 5 \cdot 2^x  + 4 = 0  \cr
  & y^2  - 5y + 4 = 0  \cr
  & (y - 1)(y - 4) = 0  \cr
  & y = 1 \vee x = 4  \cr
  & 2^x  = 1 \vee 2^x  = 4  \cr
  & x = 0 \vee x = 2 \cr}
$

Naschrift

Bij het eerste voorbeeld is het (misschien) handiger om alles met 2 te vermenigen.

$
\eqalign{
  & 2^{2x + 1}  - 9 \cdot 2^{x - 1}  + 1 = 0  \cr
  & 2^{2x + 2}  - 9 \cdot 2^x  + 2 = 0  \cr
  & 4 \cdot 2^{2x}  - 9 \cdot 2^x  + 2 = 0  \cr
  & 4 \cdot \left( {2^x } \right)^2  - 9 \cdot 2^x  + 2 = 0  \cr
  & 4y^2  - 9y + 2 = 0  \cr
  & \left( {4y - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0  \cr
  & y = \frac{1}
{4} \vee x = 2  \cr
  & x =  - 2 \vee x = 1 \cr}
$

©2004-2024 WisFaq