Waar komt die formule vandaan?

Als je k elementen kiest uit een verzameling van n elementen, waarbij ieder element meerdere keren gekozen mag worden en waarbij niet gelet wordt op de volgorde dan heb je te maken met een herhalingscombinatie.

 

Het aantal herhalingscombinaties kan worden berekend met de volgende formule:

$aantal=\pmatrix{n-1+k\\k}$

• Maar waar komt die formule vandaan?

Uitleg

Neem aan dat je 10 snoepjes wilt verdelen over 4 kinderen en dat dit met herhaling is en de volgorde er niet toe doet. Dat is een voorbeeld van een herhalingscombinatie.

Je kunt de 10 snoepjes voorstellen als 10 puntjes:

..........

Je kunt nu met 3 paaltjes de 10 snoepjes in 4 groepjes verdelen:

.|..|...|....

Het 1e kind krijgt 1 snoepje, het 2e kind twee, enz... Nog een aantal mogelijke rijtjes:

..|||........
...|.......||
|||..........

Uiteindelijk heb je dan 13 tekens waarvan er 10 een puntje zijn en 3 paaltjes. Hoeveel van die rijtjes kan je maken? Dat is een combinatie!

Dat zijn $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {13}  \\
   {10}  \\
\end{array}} \right) = 286
$ mogelijkheden.

In de formule is 'n-1' dus het aantal paaltjes, 'n-1+k' het aantal tekens en 'k' is dan het aantal puntjes:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n - 1 + k}  \\
   k  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {4 - 1 + 10}  \\
   {10}  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {13}  \\
   {10}  \\
\end{array}} \right) = 286
$

Uitleg 2

Stel je 's voor dat je 4 snoepjes wilt verdelen over 10 kinderen. Ook weer met herhaling en waarbij de volgorde er niet toe doet. Volgens de formule:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n - 1 + k}  \\
   k  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {10 - 1 + 4}  \\
   4  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {13}  \\
   4  \\
\end{array}} \right) = 495
$

Je hebt nu 4 puntjes en 9 paaltjes om de zaak in 10 groepjes te verdelen:

.||..|||.||||

Twee kinderen krijgen één snoepje en één kind krijgt er twee en de rest krijgt niks.

Er zijn nu 13 tekens waarvan er 4 puntjes zijn en 9 paaltjes. Dat is dan een combinatie van 4 uit 13:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {13}  \\
   4  \\
\end{array}} \right) = 495
$

...en zo zit dat dan...

©2004-2024 WisFaq