Bewijs associativiteit groepentheorie

Ik wil bewijzen dat de viergroep van Klein een groep is. Voorbeeld {1,a,b,c}
Moet ik dit bij de voorwaarde associativiteit voor alle mogelijke combinaties doen? Of is 1 voorbeeld voldoende?
Moet ik dus als volgt
1*(a*b)=1*c=c net als (1*a)*b=a*b=c
EN 1*(1*1)=1*1=1 net als (1*1)*1=1
EN bewijzen dat (a*a)*a=a*(a*a)
EN a*(b*c)=(a*b)*c
Enz....?
Dat lijkt me toch enorm veel schrijfwerk. Hoe wordt dat normaal gedaan? Er zijn toch wel heel veel combinaties.... Je kan ook niet gewoon verwijzen naar de Cayley-tabel...

3de graad ASO - zondag 9 februari 2025

Antwoord

Ja, als je niets anders hebt dan de groepstabel zul je alle drietallen langs moeten lopen.

Als alternatief kun je proberen die groep als symmetriegroep van een figuur te zien (een rechthoek die geen vierkant is); of als ondergroep van een andere groep, bijvoorbeeld \bigl\{(1), (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)\bigr\} als deel van S_4.

kphart
zondag 9 februari 2025

©2004-2025 WisFaq