Koordenvierhoek en punten op een cirkel

Wanneer ik kan aantonen dat de som van twee overstaande hoeken in een vierhoek gelijk is aan 180 graden, heb ik dan bewezen dat er sprake is van een koordenvierhoek en dus dat alle vier de hoekpunten van de vierhoek op dezelfde cirkel liggen? Ik heb dan namelijk wel een erg simpele uitwerking voor een 'Afsluitende' vraag op 6 vwo-niveau.

Mijn uitwerking is namelijk als volgt: (vectoren kan ik niet mooi invoeren, zie ik, dus ik heb het even zo gedaan)
(1 4)-(3 0)=(-2 4)
(5 6)-(1 4)=(4 2)
(-2 4)·(4 2)=4·-2+4·2=0 (dus hoek 90 graden)

(7 4)-(3 0)=(4 4)
(5 6)-(7 4)=(-2 2)
(4 4)·(-2 2)=4·-2+4·2=0 (dus hoek 90 graden)

90 + 90 = 180, dus overstaande hoeken zijn 180 graden
Voor de andere twee hoeken: som vierhoek = 360, 360-180=180, dus ook deze overstaande hoeken zijn 180 graden.

Er is dus sprake van een koordenvierhoek en dus liggen punten A, B, C en D op één cirkel.

Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 15 januari 2025

Antwoord

Dat is prima.

Je kunt ook de stelling van Thales gebruiken: de hoeken \angle ACB en \angle ADB zijn recht, dus C en D liggen op de cirkel die AB als middellijn heeft.

Je kunt ook de coördinaten van A, B, C, en D invullen in (x-a)^2+(y-b)^2=r^2. Dan zul je snel zien dat je met a=4, b=3, en r^2=10 vier kloppende vergelijkingen krijgt.

kphart
woensdag 15 januari 2025

©2004-2025 WisFaq