Asymptoten en perforaties

Mijn vriend beweert het volgende:

"Voor de formule 1/x is de asymptoot ook een perforatie. Immers is er namelijk een gat op x=0, maar niet op x=0.0000001. Er is dus op 1 punt in de grafiek een gat, en aan beide kanten van dit gat gaat de grafiek door. Is het dan niet zo dat de asymptoot in dit geval een perforatie is."

Ik vind dat zijn beredenering foutief is, want de grafiek nadert links en rechts van x=0 niet dezelfde y-coördinaat.

Wie van ons heeft gelijk?
Alvast bedankt voor de reactie.

Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 10 december 2024

Antwoord

Hallo Henk,

Ik geef jou gelijk. Jouw vriend beschrijft wel correct hoe de grafiek zich gedraagt rond x=0, maar koppelt daar een onjuiste term aan. Het is wel een discontinuïteit, maar daarmee nog niet automatisch een perforatie. Er zou pas sprake zijn van een perforatie bij x=0 wanneer de limiet van de functie voor x naar 0 zou bestaan (dus: een eindige waarde heeft). Dat is hier niet het geval: de functie gaat naar (min)oneindig. Dan is sprake van een verticale asymptoot, niet van een perforatie.

Zowel bij een verticale asymptoot als bij een perforatie is sprake van discontinuïteit, maar het zijn verschillende vormen hiervan.

Overigens is er nog een vorm van discontinuïteit: een sprong. Hierbij bestaan de linker- en rechterlimiet bij een zekere waarde van x wel, maar zijn deze niet gelijk. De grafiek 'houdt opeens op' en gaat op een andere hoogte weer verder.

Zie ook Purdue University: Lesson 4

dinsdag 10 december 2024

©2004-2024 WisFaq