Omwentellingslichaam om de lijn ye

Gegeven is de functie f(x) = e^x. V is het vlakdeel dat wordt ingesloten
door de grafiek van f, de x-as, de y-as en de lijn x = 1.
Bereken algebraïsch de inhoud L van het lichaam dat ontstaat als V
wentelt om de lijn y = e. Rond af op twee decimalen.

Mijn aanpak:
Ik heb eerst de inhoud van een cilinder omgewenteld om de lijn y=e
ik kwam uit op I(cilinder) = $\pi$ $\times $ y² $\times $ h = $\pi$ $\times $ e² $\times $ 1.

Daarna heb ik de omwentellingslichaam berekend van het stuk dat wordt ingesloten door grafiek van f, de y-as en de lijn e.
Ik kwam uit op: I(W) = $\pi$ $\smallint $ (e)² - f(x)² (begrends door b=1 en a=0). Uiteindelijk kwam ik op: I(W) = $\pi$ (1/2e² + 1/2)

Als laatste stap om I(v) te berekenen heb ik
I(cilinder) - I(W)= $\pi$ e² - $\pi$ (1/2e² + 1/2) = $\pi$ (1/2e² - 1/2) = 10.04

Ik kom niet op hetzelfde uit als in de uitwerkingen (19.31), daar hebben ze namelijk een andere methode gebruikt. Maar zelf snap ik ook niet wat er fout is aan mijn aanpak.

Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 21 oktober 2024

Antwoord

Je formule voor $I(W)$ klopt niet want die levert de inhoud van het wentellichaam van het vlakdeel als het om de $x$-as wordt gedraait.
Immers: $\pi\int_0^1\mathrm{e}^2\,\mathrm{d}x$ geeft de cilinder met straat $\mathrm{e}$ om de $x$-as, en $\pi\int_0^1f(x)^2\,\mathrm{d}x$ geeft het wentellichaam van het vlakdeel onder de grafiek van $f$ om de $x$-as.

Je moet de afstand van de grafiek van $f$ tot de lijn $y=\mathrm{e}$ gebruiken, dus
$$
I(W)=\pi\int_0^1 (\mathrm{e}-\mathrm{e}^x)^2\,\mathrm{d}x
$$

kphart
dinsdag 22 oktober 2024

©2004-2024 WisFaq