JWO 2007 2e Ronde - Vraag 27

Beste,

Ik probeer al even onderstaande vraag opgelost te krijgen.

Welk cijfer stelt • voor als 200710 = 10•0409780885367740279751534615249?
(Bron: Vlaamse junior wiskunde olympiade 2e Ronde 2006-2007, vraag 27.)

Ik heb van alles geprobeerd en onderzocht, maar vind helaas geen goede manier om deze opgelost te krijgen. Heeft iemand tips voor mij?
De laatste cijfers van het getal kon ik wel verklaren via de 10e macht van 7.

2^10 * 10^30 zou een indicatie kunnen geven voor de eerste cijfers. Maar 2^10 is 1024, en geeft niet het juiste antwoord. Het juiste antwoord zou volgens de oplossingensleutel het cijfer '6' zijn. Maar helaas begrijp ik niet waarom? Schrijven als een som of een verschil van twee getallen, hielp me ook niet echt vooruit. Ik blijf op zoek, maar ben een beetje door mijn inspiratie heen.

Als je algemene tips zou hebben voor zulke vragen over grote getallen, dan zijn die steeds ook welkom voor de toekomst.

Dank bij voorbaat,
Wouter

Docent - woensdag 16 oktober 2024

Antwoord

Gebruik het binomium van Newton:
$$
(2000+7)^{10}=\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}2000^{10-k}\cdot 7^k
$$
De eerste drie termen geven al uitsluitsel:
$$
\binom{10}{0}1024\cdot10^{30}+10\cdot512\cdot10^{27}\cdot7+45\cdot256\cdot10^{24}\cdot49
$$
zet ze maar onder elkaar; je ziet dat de getallen snel korter worden.

kphart
vrijdag 18 oktober 2024

©2004-2024 WisFaq