Re: Re: Groep van priemorde

Dit is een reactie op vraag 98308

Stel groep G = (11^0,11^1,..,11^10} orde=11=priem

Hoe reken ik de voortbrengers a dan uit en welke zijn dat?

Stel ik neem a=11 dan is 11^11 mod 11 = 0. Orde is dan 11 gelijk aan orde G.

Ik vang het idee nog niet helemaal waarom de orde van de voortbrengers gelijk is aan de orde van de groep G.

Overige TSO-BSO - zondag 15 september 2024

Antwoord

Je $G$ is geen groep. Tenzij je modulo $11$ rekent, dat geldt $G=\{0\}$, en dat is een flauwe groep.

Het woord `orde' heeft hier, helaas, twee betekenissen.

1. De orde van een groep is niets anders dan het aantal elementen.
   
2. De orde van een element $a$ van een groep $G$ is het kleinste natuurlijke getal $k$ waarvoor geldt $a^k=e$, mits zo'n $k$ er is; anders zegt men dat het element orde `oneindig' heeft.
   

Als een element $a$ orde $k$ heeft dan kunnen we de machten van $a$ opschrijven: $a^0=e$, $a^1=a$, $a^2$, $\ldots$, $a^{k-1}$; meer zijn er niet want $a_k=e$.
Al die $k$ machten zijn verschillend want als er $i$ en $j$ zouden zijn met $0\le i $<$ j $<$ k$ en $a^i=a^j$, dan geldt $a^{j-i}=e$, maar dat kan niet want $0 $<$ j-i $<$ k$ dus $a^{j-i}\neq e$.

Dat $a$ een voorbrenger van $G$ is betekent per definitie dat $G$ uit alle machten van $a$ bestaat. Als de orde van de groep $G$ gelijk is aan $m$ dan heeft $G$ dus $m$ elementen en die zijn dan allemaal machten van $a$.
Dus moeten er $m$ verschillende machten van $a$ zijn: $e$, $a$, $\ldots$, $a^{m-1}$, en $a^m=e$; dus de orde van het element $a$ is ook gelijk aan $m$.

kphart
zondag 15 september 2024

©2004-2024 WisFaq