Stationariteit tijd reeksen

Beste,

Onze vraag is al volgt: als {Y_t} een stationair Gaussiaans proces is, is X_t=(Y_t)² ook stationair?

Tot dusver weten we dat Y_t~N(mu, sigma²) en dat Y-t stationair is. Ook omdat Y_t Gaussiaans is weten we dat het proces strict stationair is (de n-dimensionale marginale distributies van {Y_t} zijn jointly Gaussian).

Het proces zou stationair zijn als de verwachtingswaarde en autocovariance function (ACVF) onafhankelijk zijn van tijd t. De ACVF is gelijk aan Cov(X_t,X_t+h).
Echter lukt het niet Cov(X_t,X_t+h) uit te schrijven door de non-lineaire transformatie van Y_t.

Enig idee hoe we verder kunnen komen?

Alvast bedankt!

Groet

Student hbo - woensdag 17 april 2024

Antwoord

Ik neem aan dat je geprobeerd hebt de covariantie van $X_t$ en $X_{t+h}$ uit te drukken in die van $Y_t$ en $y_{t+h}$ door (alleen) de (bi)lineariteit te gebruiken.

Je zou ook de covariantie direct kunnen proberen uit te rekenen:

Eerst de kansverdeling van de $X_t$ bepalen $P(X_t\le x)=0$ als $x\le0$ en $P(X_t\le x)=P(-\sqrt x \le Y_t\le\sqrt x)=P(y_t\le \sqrt x)-P(Y_t < -\sqrt x)$ als $x$ positief is. Dat geeft de verdelingsfunctie in termen van de gegeven normale verdeling.

En dan die kansverdeling voor $X_t$ en $X_{t+h}$ in een van de formules voor de covariantie stoppen.
Waarschijnlijk werkt $E(X_t\cdot X_{t+h})-E(X_t)\cdot E(X_{t+h})$ het makkelijkst.

kphart
zondag 21 april 2024

©2004-2024 WisFaq