Quotiëntgroepen

Stel G,* is een groep en H is een deelgroep van G, dan kunnen we $\forall $ a,b $\in $ G een inwendige bewerking $\otimes $ definiëren zodat
(a*H) $\otimes $ (b*H)

Welnu als ik het volgende voorbeeld neem geraak ik in de war over de bewerkingen op G en H
G = $\mathbf{Z}$ ,+
H = $\mathbf{Z}$ /2 $\mathbf{Z}$ (dus alle even getallen)
(a*H) $\otimes $ (b*H) wordt dan
(a+H) + (b+h), en hier is dan toevallig de optelling de bewerking voor zowel G als H. Juist?

Iets anders - zaterdag 13 januari 2024

Antwoord

Je moet wel je zinnen afmaken. Je eerste zin is niet af: "$\dots$ zodat $(a*H)\,(b*H)$ " zegt niets want $(a*H)\,(b*H)$ is geen bewering of conclusie.
Verder specificeer je ook niet waarop die bewerking gedefinieerd zou moeten zijn, op welke verzameling. Voor de goede orde: je hebt daar niets gedefineerd.

Verder ziet je voorbeeld er wat raar uit: $(\mathbb{Z},+)$ is inderdaad een groep maar je $H$, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, is daar geen ondergroep van, maar al een quotiëntgroep. Uit wat tussen haakjes staat concludeer ik dat waarschijnlijk $H=2\mathbb{Z}$ bedoeld wordt.

Wat je vraag aan het eind betreft: in $(a+H)+(b+H)$ komen de eerste en laatste $+$ uit $\mathbb{Z}$; de middelste is de bewerking die we op $G/H$ willen definiëren (maar dat is nog niet gebeurd). Dit is vrij wijd verbreid in de Algebra: de bewerking op het quotiënt krijgt hetzelfde symbool als de bewerking op de oorspronkelijke groep, de betekenis is nieuw.
In het begin gebruikt men wel eens een ander symbool om het verschil duidelijk te maken, maar er komt altijd een moment waarop men dat verschil laat vallen.

Dus hier zou men kunnen schrijven: we definëren een bewerking $\bar+$ op $G/H$ door
$$(a+H)\mathbin{\bar+}(b+H) = (a+b)+H
$$(dat ontbrak nog in je vraag). Alle plussen behalve $\bar+$ komen uit $G=\mathbb{Z}$, alleen $\bar+$ is nieuw.

Ten slotte: dit gaat alleen goed als $H$ een normale ondergroep is, anders wordt $G/H$ zo geen groep.

kphart
zaterdag 13 januari 2024

©2004-2024 WisFaq