Waarom zijn complexe getallen bedacht?

Hallo,

Ik maak een Praktische Opdracht over Complexe getallen, en nou moet ik ook een stukje schrijven over WAAROM deze getallen zijn bedacht. Ik weet inmiddels wat deze getallen zijn en dat ze bijvoorbeeld bedacht zijn om de wortel uit een negatief getal te kunnen nemen, maar er moeten nog meer redenen zijn lijkt mij. Ik weet dat er verschillende toepassingen zijn voor complexe getallen, maar zijn de complexe getallen ook specifiek daarvoor bedacht? Oftewel, mijn vraag is: Waarom zijn complexe getallen bedacht? Wat is de echte reden? Alvast bedankt

Sebast
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 1 april 2003

Antwoord

Met complexe getallen wordt een hele hoop feiten over reele getallen veel logischer en symmetrischer. Als je weet wat een Taylorreeks is, kan ik je daar wat meer over vertellen, maar dit geeft je al een idee.

Stel dat X een verzameling "getallen" is, in de algemeenste betekenis van het woord. Een "veelterm over X" is dan een veelterm zoals je die zelf wel kent, maar waarbij de coefficienten elementen zijn uit X.

Bv. 3/4 x³ - 5/6 x is een veelterm over

Sommige veeltermen over hebben nulpunten in .
Bv. 2 x - 4 is een veelterm over en heeft een nulpunt in namelijk x=2.
Andere veeltermen over hebben geen nulpunten in .
Bv. 2 x + 4 is een veelterm over maar je moet hem als veelterm over beschouwen, als je over nulpunten wil kunnen praten. Dan is x=-2 een nulpunt.

Sommige veeltermen over hebben nulpunten in .
Bv. x² - 5/4 x + 3/8 is een veelterm over en heeft 2 nulpunten in , namelijk x=1/2 en x=3/4.
Andere veeltermen over hebben geen nulpunten in .
Bv. 1/2 x² - 1 is een veelterm over maar je moet hem als veelterm over beschouwen, als je over nulpunten wil kunnen praten. Dan zijn x=Ö2 en x=-Ö2 nulpunten.

Sommige veeltermen over hebben nulpunten in .
Bv. x^2 - 2 Ö2 x - 2 is een veelterm over en heeft 2 nulpunten in , namelijk x=2+Ö2 en x=2-Ö2.
Andere veeltermen over hebben geen nulpunten in .
Bv. x^2 + 4 = 0 is een veelterm over maar je moet heb als veelterm over beschouwen, als je over nulpunten wil kunnen praten. Dan zijn x=2i en x=-2i nulpunten.

En nu komt het mooie. Elke veelterm over heeft een nulpunt in (als je de meervoudige nulpunten ook meervoudig telt, kan je zelfs zeggen dat een veelterm over van graad N, precies N nulpunten heeft). Dit heet "de fundamentele stelling van de algebra". Ze zegt eigenlijk dat je over geen veelterm kan opschrijven die geen nulpunten heeft in .

Bv. 1/2 x^2 + (1-i)x - i = 0 heeft zoals het hoort 2 complexe nulpunten, namelijk x=i en x=-1. Dat laatste is een reeel en zelfs geheel getal, maar zoals in alle voorgaande uitbreidingen, zit de "oude" verzameling steeds vervat in "nieuwe" (natuurlijke getallen zijn ook rationale getallen, en dat zijn ook reele getallen en dat zijn ook complexe getallen).

In de zin van hoger genoemde stelling is er dus eigenlijk geen onmiddellijke nood om een nieuwe klasse getallen "uit te vinden". Er bestaan er natuurlijk nog wel (bv. quaternionen), maar hun belang kan zeker niet op dezelfde hoogte worden gezet als dat van de complexe getallen.

dinsdag 1 april 2003

©2001-2024 WisFaq