Verschil-, som- en verdubbelingsformule

Hallo,

Ik loop vast bij de uitleg van de verschil-, som- en verdubbelingsformule in mijn boek.

Getal en Ruimte 10de editie 3e boek wiskunde B

Er wordt namelijk een driehoek OAB getekend en daarin wordt een hoogtelijn AD getekend, als uitleg wordt verteld dat OD = cos(a-b). Maar uit de voorgaande vraag: de oriëntatie vraag 8. Hadden ze berekend dat als je lijnstuk BC wilt weten het cos(b)- cos(a) is.

En die uitleg snapte ik hoe ze daarop kwamen. Maar ik snap niet hoe ze op OD = cos(a-b) komen? Is er namelijk een verschil tussen cos(a) - cos(b) en cos(a-b)?

Ik had namelijk geconcludeerd dat cos(a) kleiner was dan cos(b) en 'iets kleins'- 'iets groots' = iets negatief. Dus ik snap niet hoe ze op OD komen. Het is een beetje moeilijk uit te leggen zonder de afbeelding (die ik overigens probeer op te sturen). Want als ik de cosinus neem van hoek a - b dan is dat toch 1? Namelijk de straal van de eenheidscirkel en dat is OB in plaats van OD?

Al met al snap ik niet hoe ze op de conclusie OD = cos(a-b) komen... Ik hoop dat u me daarbij kunt helpen, bedankt alvast!

Cindy
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 27 augustus 2017

Antwoord

$\cos(\alpha)-\cos(\beta)$ is NIET hetzelfde als $\cos(\alpha-\beta)$. Zeker niet! Dus zet dat uit je hoofd...

Wat er gebeurt is dat $\angle O=\alpha-\beta$. Er geldt dan:

$\eqalign{cos(\alpha-\beta)=\frac{aanliggende\,rechthoekszijde}{schuine \,zijde}=\frac{OD}{1}}$
oftewel:
$OD=cos(\alpha-\beta)$

De rest wordt dan:
$BD=1-cos(\alpha-\beta)$, want $OB=1$.

Met de stelling van Pythagoras:
$AD^2=1^2-cos^2(\alpha-\beta)$

...en onderaan gebruik je nog iets uit opgave 8.

Helpt dat?

zondag 27 augustus 2017

©2001-2024 WisFaq