De oppervlakte en inhoud van een tetraëder

Ik had nog een aantal vragen over het berekenen van de oppervlakte van bijvoorbeeld de tetraëder. Hoe berekenen ze de hoogtelijn dmv pythagoras? Er moet ¹/₂a√3 uitkomen....
Als je het grondvlak hebt berekend kan je de inhoud uitrekenen? Als grondvlak kwam ik uit op: 1/4a²√3. Hoe reken je dan ¹/₂a√3·1/4a²√3·1/3 uit? Klopt het dat dit 1/12a³√3 wordt? Alvast heel erg bedankt!

Karin
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 25 februari 2003

Antwoord

De lengte van de ribben van zo'n tetraëder is a.
De vraag is dan:
1. Hoe bereken je de oppervlakte?
2. Hoe bereken je de inhoud?

Eerst maar eens een tekening:



1.
Laten we eerst eens naar het 'grondvlak' ABC kijken:



h=√(a²-(¹/₂a)²)=√(³/₄a²)=¹/₂a√3
De oppervlakte van deze gelijkzijdige driehoek is dan:
Opp.=¹/₂·a·¹/₂a√3=¹/₄·a²·√3
Dus de oppervlakte van de tetraëder is 4·¹/₄·a²·√3=a²·√3
..en dat is toch aardig...

2.



De hoogte h kunnen we berekenen in $\Delta$PST. PT=¹/₂a√3 (zie boven) en ST=h. Nu nog PS berekenen. Met behulp van het gegeven dat $\Delta$ABQ gelijkvormig is met $\Delta$ASP (ga na!) kan je PS berekenen.
PS=¹/₆·a·√3

h=√(PT²-PS²)=√((¹/₂a√3)²-(¹/₆a√3)²)=¹/₃a√6

Dus de inhoud van het tetraëder wordt:
I=¹/₃·¹/₄a²√3·¹/₃a√6=¹/₁₂·a³·√2

donderdag 27 februari 2003

©2004-2024 WisFaq