Stelling van l Hopital

Om limieten op te lossen die uitmonden in een 0/0 situatie kan men gebruik maken van de stelling van l'Hopital. Wat is die stelling precies en hoe bewijs je die?

Thomas
3de graad ASO - maandag 23 september 2002

Antwoord

Als y = f(x) / g(x) en zowel de teller als de noemer worden bij de waarde x = a gelijk aan 0, dan zou je als x naar a nadert vastlopen op een breuk van de gedaante 0 / 0.
Hieruit zou in principe elk antwoord kunnen komen en de kunst is dus om het meest zinnige antwoord te kiezen.

De stelling van l'Hopital zegt nu: bekijk het quotiënt van de afgeleide van f en de afgeleide van g.

Bekijk dus de functie y = f'(x) / g'(x)

Vul in dit quotiënt nu voor x de waarde a in en het resultaat is de gevraagde limiet.

Voorbeeld: wat wordt sinx / x als x naar 0 nadert?

Teller en noemer worden gelijktijdig 0, dus rechtstreeks kom je er niet.

Het quotiënt der afgeleiden is cosx / 1

Vul je hier nu x = 0 in, dan komt er 1 uit en dat is dus het antwoord op de gestelde vraag.

Zoals zo vaak geldt de stelling onder bepaalde voorwaarden. Hier moet je eisen dat zowel de teller als de noemer bij de bewuste waarde "normale" functies zijn. Daarmee bedoel ik dat zowel als f als g bij x = a een niet verticale raaklijn aan hun grafiek hebben. Helemaal loepzuiver is dit niet, maar in détails wordt het nodeloos ingewikkeld.

Voor het bewijs wordt gebruik gemaakt van de definitie van afgeleide functies. Raadpleeg daarvoor je leerboek of kom nog eens terug. Bewijzen zijn mooi, maar ook wel erg technisch soms. En moet je dat weten?

MBL
maandag 23 september 2002

©2001-2024 WisFaq