Minimaliseren van de kosten

Uit de volgende ( zeer lange opgave ) kom ik niet helemaal uit:
Een meubelfabriek heeft een volautomatische zaagmachine. Hiermee worden stoelzittingen uit platen gezaagd. De machine kan in drie standen zagen: langzaam, matig en snel. Als er sneller gezaagd wordt, kunnen er minder zittingen uit een plaat worden gehaald.

Verzagen van 1 plaat
langzaam matig snel
Zaagtijd per plaat in min. 24 12 6
aantal zittingen per plaat 10 8 5

De zaagmachine kan per week ten hoogste 34 uur gebruikt worden. De platen zijn afkomstig van een toeleveringsbedrijf. Dit bedrijf kan ten hoogste 180 platen leveren. De platen kosten 4 euro per stuk. Het zagen kost in elke stand 110 euro per uur. De totale fabricagekosten zijn de kosten van de gebruikte platen plus de kosten van het zagen. Na het uitzagen van de zittingen zijn de restanten van de platen waardeloos. In de huidige situatie worden er elke week 1320 zittingen gemaakt. ga uit van een zaagprogramma waarbij x platen per week in stand 'langzaam', y platen in de stand 'matig' en z platen in de stand 'snel' worden verzaagd.

A) Geef de doelfunctie van de kosten K en alle beperkende voorwaarden.

Wij hadden hier:
K=44.4x+22.5y+11.8z (Doelfunctie)
Voorwaarden
1. 24x+12y+6z2040
2. 4x+5y+8z7200
3. 10x+8y+5z=1320
4. x0
5. y0
6. z0

B) Er worden precies 1320 zittingen gemaakt. Ga na dat je z kunt uitdrukken in x en y, zo dat z=264-2x-1.6y. Druk m.b.v. deze vergelijking de doelfunctie en de beperkende voorwaarden eveneens uit in x en y.

1320=5z+8y+10x
5z=1320-8y-10x
z=264-2x-1.6y

K=20.8x+3.62y+3115.2 (Doelfunctie)

Voorwaarden
1. 12x+2.4y456
2. -12x-7.8y5088
5. 2642x+1.6y
6. 10x+8y+1320-10x-8y=1320 0=0

C) De voorwaarde z0 levert een ongelijkheid in x en y op. Stel deze op.

264-2x-1.6y0
-1.6y-264+2x
y165-1.25x

1.25x165-y
x132-0.8y

D) Teken het toegestane gebied met de isolijn K=4100. Hoeveel platen moeten gezaagd worden opdat de kosten minimaal zijn?

??????????

E) Controleer met de randenwandelmethode of de gevonden oplossing juist is.

???????????? (Weet ook niet hoe ik dit zou moeten doen!!)

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen.
Alvast bedankt,
Lonneke

Lonnek
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 23 augustus 2002

Antwoord

Ik neem aan dat je deze oefening gezien hebt in een les economie dus zal ik het eerder economisch oplossen (dan mag ik enkele dingen doen, waar een wiskundige niet mee kan lachen). Op het einde geef ik wel weer hoe je het wiskundig moet aanpakken.

D) Je moet uitzoeken hoeveel x en y je kan produceren tegen een kost 4100. Dit is niet moeilijk. Om het te tekenen, moet je eerst weten hoeveel x en hoeveel y je maximaal kan produceren tegen 4100.

x: y gelijk stellen aan 0 en invullen in K
(ik neem aan dat je K uit deel B moet gebruiken, omdat z dat niet meer van belang is, indien wel moet je de tekening al in 3D maken, maar het komt op hetzelfde neer).
=> K=20,8x + 3,26*0 + 3115,2
4100-3115,2=20,8x
20,8x=984,8
x=47,34
opmerking: in principe kan je geen 0,34 plaat maken, waardoor men dit soms verandert in 47.

y: nu x gelijk stellen aan 0
y=272,04

Tegen kosten van maximaal 4100 kan je maximaal 47,34 x maken (en 0 y) en 272,04 y (en 0 x).

Omdat je nu 2 punten kent van de kostencurve K, kan je de hele rechte tekenen. De interpretatie hiervan is dat alle combinaties van x en y die op deze rechte liggen, allen 4100 aan kosten geeft. Deze rechte is ook getekend op de volgende figuur (de meest rechtse).





Om de kosten te minimeren moet je eigenlijk het voorgaande terugdoen, maar met steeds een andere waarde voor K (minder dan 4100). Wiskundig is dit niet zo eenvoudig. Dus gebruiken we een trukje. Als we een andere waarde nemen voor de kosten, schuift de curve gewoon evenwijdig naar links (minder kosten) of naar rechts (meer kosten). Nu moeten we een punt vinden dat zo dicht mogelijk ligt bij de oorsprong. De oorsprong zelf zal vaak de minste kosten geven, maar niets produceren is natuurlijk af te raden, daarom moeten we ook op zoek gaan naar een ander punt.

Hiervoor hebben we de nevenvoorwaarden nodig (ook van onder punt B, dus zonder z).

Nevenvoorwaarde 1:
12x+2.4y456
We hebben eigenlijk enkel de grens nodig waarbij de gelijkheid geldt, de waarden die minder dan 456 opleveren hebben we voorlopig niet nodig, dus mogen we met het gelijkheidsteken werken.
uitdrukken in y:
2.4y=456-12x
y=190-5x
nulpunten: x=0, y=190
y=0, x=38
Deze functie is op de vorige tekening de 2de rechte van rechts. Dit is een grens (hogere waarden mogen niet) dus we moeten enkel kijken naar de lagere waarden en die liggen links van de rechte.

Hetzelfde doen we met de 2 andere nevenvoorwaarden (-12x-7.8y5088 mogen we verwaarlozen, wat die geeft geen positieve waarden voor x en y, tenzij de voorwaarde zelf vekeerd zou zijn, want die heb ik van je over genomen).

En tenslotte moeten x en y positief zijn, dus moeten we enkel naar het eerste kwadrant kijken. Al deze functies staan afgebeeld op volgende figur:





Enkel het gearceerde gebied moeten we nog verder bekijken. Het is zo dat enkel op de hoekpunten van de figuur een mogelijk kostenminimum kan bestaan. Dus moeten we enkel naar deze punten kijken (de exact wiskundige methodes beschouwen alle punten, maar komen uiteindelijk ook met een hoekpunt als oplossing).

Er zijn dus 4 punten die we moeten bekijken. Om snel een oplossing te geven moeten we enkel kijken naar de eerste kostenfunctie (uiterst rechts). Ik heb gezegd dat door de rechte evenwijdig naar links te verschuiven de kosten zullen dalen. Dat doen we nu: we verschuiven hem denkbeeldig naar links, waardoor we het punt (38,0) zeker kunnen schrappen, want er zijn dichtere punten. Het punt (0,165) ligt veel dichter bij de oorsprong. De oorsprong zelf ligt het dichtst bij de oorsprong (logisch) en op de denkbeeldige rechte, waardoor de kosten daar het laagst zullen zijn, maar niets produceren is niet aan te raden. Wanneer we wel moeten produceren zal het punt (0,165) de laagste kosten hebben.

E) Dit kan je bewijzen door de randenwandelmethode, die we eigenlijk juist al hebben toegepast. Deze methode kan je ook gebruiken om het beste punt te vinden (vooral wanneer 2 punten dicht bij elkaar liggen is het niet steeds eeenvoudig uit te maken welke het dichtst ligt).

Deze methode bestaat erin om 1 voor 1 alle hoekpunten van de figuur te nemen en de punten in te vullen in de doelfunctie:
punt (0,0): K=3115.2
punt (0,165): K=3712.5
Het volgende punt is een snijpunt tussen 2 rechten: functies gelijkstellen om dan het punt te bepalen (probeer maar eens).
punt (38,0): K=3905.6

Dit bewijst dat de oorsprong de laagste kosten heeft.

Puur wiskundig kan je het ook berekenen via de Lagrange methode. Dit houdt in dat de doelfunctie en de nevenvoorwaarden partieel afgeleid moeten worden naar alle onbekenden en dan gelijkstellen aan 0. Dan is het mogelijk op via een stelsel tot de waarde van x en y te komen. Deze methode is niet erg eenvoudig en brengt heel wat rekenwerk met zich mee.

Ik hoop dat mijn uitleg duidelijk was en dat je soortgelijke oefeningen nu ook kan oplossen (maar deze was toch al behoorlijk ingewikkeld). Het is altijd hetzelfde systeem en eens je het door hebt, vergeet je het nooit meer.

Zie vraag 2231

vrijdag 23 augustus 2002

©2001-2024 WisFaq