Formule van Cardano

ik heb een heel verslag gevonden op deze site maar eerlijk gezegt snap ik niet zoveel van de stappen die ze daar zetten. Hebben jullie geen verslag met iets makkelijkere uitwerkingen?
en dan heb ik nog een vraagje: HOE kun je elke derdegraadsfunctie ombouwen tot een type van Cardano?

petra
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 30 oktober 2004

Antwoord

Beste Petra,
Dat document is vrij uitgebreid en waarschijnlijk dus ook dat je daardoor door de bomen het bos niet meer ziet.
Als je alleen maar de methode hoeft te weten dan is het 'vrij eenvoudig'. We gaan ervan uit dat je een derdegraads vergelijking hebt in de vorm van:
ax³+bx²+cx+d=0

1) Bereken p, met:
p = c/a - b²/(3a²)
2) Bereken q, met:
q = 2b³/(27a³) - cb/(3a²) + d/a
3) Los de vergelijking g²+qg-p³/27=0 op met de abc-formule
4) Bereken u, met u=³Ö(g)
5) Bereken v, met v = p/(3u)
6) Bereken y, met y = u - v
7) Bereken x, met x = y - b/(3a)

Er is nog een andere methode. Deze staat (nog) niet in het document:

1) Bereken P, met 3c/(9a) - b²/(9a²)
2) Bereken Q, met 9bc/(54a²) - 27d/(54a) - 2b³/(54a)
3) Bereken B, met B =³Ö(Q + Ö(P³+Q²)) + ³Ö(Q - Ö(P³+Q²))
4) Bereken x, met x = B - b/(3a)

Je zou deze stappen allemaal in 1 formule kunnen proppen, maar of dat nu echt handig is?

Tevens komt er nog veel bij kijken als je het handmatig gaat uitwerken. Zo zul je derdemacht wortels moeten vereenvoudigen en met complexe getallen kunnen spelen.

Meestal leert men om gewoon maar een oplossing te gokken. Vervolgens kun je dan de vergelijking delen en houd je een tweede deel over die een kwadratische functie is.
Bijvoorbeeld:
2x³-3x²-29x-30=0
Na wat gokken vind je als oplossing -2, dus delen door x + 2 geeft:

x+2/2x3-3x2-29x-30\2x2-7x-15
    2x3+4x2
       -7x2-29x
       -7x2-14x
           -15x-30
           -15x-30
                 0

Dus 2x³-3x²-29x-30 = 0
Is gelijk aan (x+2)(2x²-7x-15)=0
En is daarom of x+2=0 en/of 2x²-7x-15=0. Deze laatste is weer op te lossen met de abc-formule.

Om een 'slimme' gok te doen kan je eventueel gebruik maken van de Rational Root Theorem (zie link).

Goed je tweede deel is eigenlijk een kwestie van definitie.
De definitie van een derdegraads vergelijking staat op mathworld:

• http://mathworld.wolfram.com/CubicEquation.html

Hier zegt men dat er eigenlijk als hoogste macht een 3 moet zijn. We zagen al in het voorbeeld dat:

2x³-3x²-29x-30 = (x+2)(2x²-7x-15)

Dus is ook (x+2)(2x²-7x-15) een derdegraads vergelijking.

Verder kom je ook op een derdegraads vergelijking als je iets hebt als: f(gx+h)(jx+k)(lx+m) door de haakjes weg te werken. Zolang het eigenlijk maar te herschrijven is.

Goed, hopelijk zo alles iets duidelijker.

M.v.g.
PHS

Zie Rational Root Theorem

maandag 1 november 2004

©2001-2024 WisFaq