Integraal van e^x·cos(x)

Hoi,
kan er iemand mij uitleggen hoe ik deze integraal moet uitrekenen... Ik weet niet echt goed hoe ik een integraal van een product moet nemen

$\int{}$e^xcosxdx

De uitkomst zou 1/2[e^x(cosx+sinx)]+C zijn, maar ik snap niet hoe men aan ¹/₂ en aan de cosx komt. Ik bedoel, de integraal van e^x blijft hetzelfde en de integraal van cosx wordt sinx... En hoe gaat het dan eigenlijk verder?

Hartelijk dank

Beata
3de graad ASO - maandag 24 mei 2004

Antwoord

Hoi Beata

1. de integraal van een product is niet het product van de integralen (bij afgeleiden trouwens ook niet)
2. zijn de 2 functies in een product (of quotiënt) redelijk aan mekaar verwant (mekaars afgeleide of in die buurt ) dan volstaat een goede substitutie
3. zijn ze echter niet echt aan mekaar verwant, dan proberen we de methode van partiële integratie. Ken je die?
   De gemakkelijkste te integreren functie neem je samen met dx en stel je gelijk aan dv. De andere functie noem je u.

In deze oefening is er niet veel verschil. Toch nemen we:
dv =e^xdx $\Rightarrow$ v = $\int{}$e^xdx = e^x
u = cos(x) $\Rightarrow$ du = -sin(x).dx

Partiële integratie zegt nu dat de gegeven $\int{}$u.dv = uv - $\int{}$v.du

Pas dit toe op deze oef.
Je krijgt: $\int{}$e^xcos(x)dx = e^xcos(x) + $\int{}$e^xsin(x)dx
Schijnbaar lost dit niets op... dat is juist het 'venijnig' trekje van deze opgave:
doe nogmaals partiële integratie (nu met u = sin(x)).
Je krijgt: $\int{}$e^xcos(x)dx = e^xcos(x)+e^xsin(x) - $\int{}$e^xcos(x)dx
Merk op dat de laatste integraal dezelfde is als die je zoekt... Een soort kringbewerking dus...
Verplaats die laatste integraal naar het linkerlid en:
2.$\int{}$e^xcos(x)dx = e^xcos(x) + e^xsin(x)

Nog ff delen door 2.

Frank

maandag 24 mei 2004

Re: Integraal van ex·cos(x)

©2001-2024 WisFaq