De stelling van Pythagoras en zeshoeken en halvecirkels
In een rechthoekige driehoek is de som van de oppervlakten van de gelijkzijdige driehoeken op de rechthoekzijden gelijk aan de oppervlakten van de gelijkzijdige driehoek op de schuine zijde. Dit klopt. (toch?)
Nu probeer ik uit te zoeken of de hierboven gestelde stelling ook geldt als je in plaats van 'gelijkzijdige driehoeken' leest 'regelmatige zeshoeken'. En als je voor 'gelijkzijdige driehoeken' 'halve cirkels' leest.
Nu is de stelling (volgens mij) niet meer juist, maar hoe kan ik dit bewijzen?
Alvast bedankt 
Lisann
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 8 april 2004
Antwoord
Dag Lisanne,
En toch klopt die stelling nog wel...
Immers: stel dat je hebt A2+B2=C2.
Wat is de oppervlakte van de halve cirkel op de zijde A? Dat is p(A/2)2/2 = pA2/8
De stelling zegt dan dat pA2/8 + pB2/8 = pC2/8
En vermits A2+B2=C2 geldt dit inderdaad.
En dan met die zeshoeken: teken eens een regelmatige zeshoek, en verbind het centrum van die figuur met elk van de zes hoekpunten. Je ziet dat er zes gz driehoeken ontstaan met als zijde de zijde van de zeshoek.
Nu weet je dat "In een rechthoekige driehoek is de som van de oppervlakten van de gelijkzijdige driehoeken op de rechthoekzijden gelijk aan de oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek op de schuine zijde".
Als je in voorgaande paragraaf linker- en rechterlid met zes vermenigvuldigt, staat er niet meer de oppervlakte van een gz driehoek, maar wel van een regelmatige zeshoek met dezelfde zijde. En dat was wat je wilde bewijzen. Of nee, wat je wou ontkrachten, maar dat wordt toch moeilijk denk ik
In het algemeen kan je in de stelling eender welke regelmatige n-hoek invullen: de oppervlakte van zo een figuur is altijd een constante factor maal r2. Of je kiest voor een gelijkbenige rechthoekige driehoek, of een ruit met een bepaalde hoek, of...
Groeten,
Christophe.
Zie ook De stelling van Pythagoras en gelijkzijdige driehoeken
Christophe
donderdag 8 april 2004
©2001-2024 WisFaq
|