De coördinaten van de top berekenen

Er moet een formule bestaan voor de coördinaten van de top van een parabool. Ik weet wel hoe je de x-coördinaat van de top berekent, maar ik wil ook graag weten hoe je beide coördinaten van de top kan berekenen met een formule?
Bij voorbaat dank.

wilco
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 8 maart 2002

Antwoord

De coördinaten van de top van een parabool kan je herkennen aan de formule als je de formule schrijft in deze vorm:

f(x)=a·(x-p)²+q

De top van deze parabool is (p,q).

Voorbeeld:
Wat is de top van y=(x-2)²-4?
De top is (2,-4)

Voorbeeld:
Wat is de top van y=6·(x+4)²+11?
De top is (-4,11)

Tot zover geen probleem, neem ik aan. Maar ja meestal wordt het functievoorschrift van een parabool gegeven in deze vorm:

f(x)=ax² + bx + c

Wat je dan kan doen is proberen de formule om te schrijven. Dit kan m.b.v. van kwadraatafsplitsen.

Voorbeeld:
Wat is de top van y=x²-4x+9?
y=x²-4x+9=(x-2)²-4+9=(x-2)²+5
De top is (2,5)

Voorbeeld:
Wat is de top van y=x²+3x-12?
y=x²+3x-12=(x+1¹/₂)²-2¹/₄-12=(x+1¹/₂)²-14¹/₄
De top is (-1¹/₂,-14¹/₄)

Dat was al iets moeilijker. Tot nu toe was a steeds gelijk aan 1, maar dat hoeft natuurlijk niet.

Voorbeeld:
Wat is de top van y=2x²+8x+14?
y=2x²+8x+14=2·(x²+4x)+14=2·((x+2)²-4)+14=2(x+2)²-8+14=2(x+2)²+6
De top is (-2,6)
Nou ja.. zo zou je nog uren door kunnen gaan. De vraag is of dit 'handig' is. Met behulp van de abc-formule is namelijk makkelijk in te zien dat:

Voor f(x)=ax²+bx+c:
x_top=^-b/_2a
y_top=ax_top²+bx_top+c

Volgens mij gaat dat een stuk sneller. Je kan ook kijken naar de afgeleide. Bij de top is immers de afgeleide nul:
f(x)=ax²+bx+c
f '(x)=2ax+b
Wanneer is f '(x)=0?
Als 2ax+b=0
Dus als x=^-b/_2a
(o, nee dat wisten we al...)

Het is zelfs mogelijk (sommige mensen doen dat) het hele zaakje om te draaien!

Voorbeeld:
Schrijf f(x)=3x²-24x+121 in de vorm f(x)=a(x-p)²+q
x_top=²⁴/₆=4
y_top=3·4²-24·4+121=73
Dus f(x)=3(x-4)²+73

Conclusie
Voor het berekenen van de coördinaten van de top van f(x)=ax²+bx+c gebruik je:
x_top=^-b/_2a
y_top=ax_top²+bx_top+c

Of anders geformuleerd:

De coördinaten van de top zijn:

...om maar eens een kort verhaal lang te maken!

vrijdag 8 maart 2002

©2004-2024 WisFaq