24 studenten verdelen over 3 groepen

Hallo, de examens staan voor de deur en heb wat vraagjes omtrent een oefening.

Een groep van 24 Studenten moet verdeeld worden in 3 even grote quizploegen. Op hoeveel manieren kan dit als:

a) niemand een voorkeur heeft?
b) Jan en Greet absoluut in dezelfde ploeg willen?

a) Dacht het volgende:

  8 lln uit 24  Of C(8,24)
  8 lln uit 16  Of C(8,16)
  8 lln uit 8   Of C(8,8) = 1

DUS: C(8,24)·C(8.16) en dat is dat.

Maar in mn klasikale oplossing staat dat je nog 's moet delen door 3!? Klopt dit en zo ja waarom?

b) Jan en Greet worden uit de selectie gehaald. Omdat ze kost wat kost moeten samenzitten. Dus de leerkracht kan kiezen uit 6 leerlingen uit de 22 leerlingen..
DUS volgens mij: (6,22)·C(8,16)

De klasikale oplossing meldt: (6,22)·C(8,16)/!3

Wie kan er helpen?

Greetz ;-)

Nicode
Student Hoger Onderwijs België - vrijdag 2 januari 2004

Antwoord

a.
Kies eerst 8 studenten voor groep 1
Dat kan op $\pmatrix{24\\8}$ manieren.

Je hebt dan nog 16 studenten over. Hieruit kies je er weer 8 voor groep 2.
Dat kan op $\pmatrix{16\\8}$ manieren.

Dan heb je nog 8 studenten over voor groep 3.

Je zou denken: het aantal manieren is $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{24}\\
8
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{16}\\
8
\end{array}} \right)$, maar dat is niet zo, want de groepen zelf kan je ook nog verwisselen. Je telt als het ware bepaalde samenstellingen vaker mee terwijl de 'groepsverdeling' in feite hetzelfde is (de volgorde van de groepen is immers niet van belang). Hoeveel volgorden kan je maken met 3 groepen? Dat zijn er 3!

Conclusie:

Het kan op $\eqalign{\frac{\pmatrix{24\\8}\cdot\pmatrix{16\\8}}{3!}}$ manieren.

b.
Er zijn hier verschillende mogelijkheden. Ik zou denken: ik zet die 2 even apart, maak 2 groepen van 8 en dan komen die 2 wel in de derde groep. Uiteraard kan je dan de groepen onderling weer verwisselen dus:

Het aantal manieren is $\eqalign{\frac{\pmatrix{22\\8}\cdot\pmatrix{14\\8}}{3!}}$

Maar voor hetzelfde geld kan je zeggen: ik stop die 2 in de eerste groep....

Het aantal manieren is $\eqalign{\frac{\pmatrix{22\\6}\cdot\pmatrix{16\\8}}{3!}}$

Of zelfs: ik stop ze in de tweede groep:

Het aantal manieren is $\eqalign{\frac{\pmatrix{22\\8}\cdot\pmatrix{14\\6}}{3!}}$

Het maakt allemaal niet uit... hopelijk helpt dat.

vrijdag 2 januari 2004

©2001-2024 WisFaq