Verzameling toppen

Ik moet een praktische opdracht voor wiskunde maken maar hier kom ik niet uit:

• Op welke parabool liggen de toppen van de grafieken van:
  f_p(x)=x²+px
  
• Op welke kromme liggen de toppen van de grafieken van:
  f_p(x)=x³+px²

Laura
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 25 november 2003

Antwoord

De toppen vind je in principe door de afgeleide nul te stellen. Je vindt dan de waarde voor x waarvoor de functie extremaal wordt. Die waarde zal afhangen van p, en de waarde die de functie in die x-waarde aanneemt, zal dus ook afhangen van p.

De kromme waar alle toppen op liggen vind je door de parameter p te "elimineren" uit de x- en y-coordinaat van de op.

Iets concreter: jouw tweede opgave

fp'(x) = 3x²+2px = x(3x+2p)

Die wordt nul wanneer x=-2p/3 of x=0. Die laatste is blijkbaar een top voor elke waarde van p, dus die laten we even buiten beschouwing. De functiewaarde in x=-2p/3 is y=(-2p/3)³+p(-2p/3)²=4p³/27. Voor elke waarde van p vinden we dus een top met coordinaten

x=-2p/3
y=4p³/27

We zoeken nu een verband tussen x en y, zonder dat er nog sprake is van p. Dat kan je hier door de eerste vergelijking op te lossen naar p en in de vergelijking voor y te stoppen

p=-3x/2
y=4(-3x/2)³/27=-x³/2

De toppen liggen dus allemaal op de kromme y=-x³/2. Daar hoort ook de top x=0 bij die we eerst hadden weggelaten, dus die moeten we niet apart vermelden.

Hieronder een klein filmpje waarop je inderdaad ziet dat de toppen op de gegeven kromme liggen. De waarde van p varieert er van -5 tot +5



De eerste opgave kan je nu zelf wel hoop ik. Anders hoor ik het wel...

dinsdag 25 november 2003

©2001-2024 WisFaq