Oppervlakte regelmatige n-hoek

Ik ben hopeloos aan het zoeken naar een formule om de oppervlakte van een gelijkzijdige zeshoek, achthoek, twaalfhoek en zestienhoek te berekenen. Jammer genoeg vind ik hier heel weinig over.

Saskia
Iets anders - zondag 3 februari 2002

Antwoord

Het is mogelijk voor een regelmatige n-hoek een formule voor de oppervlakte af te leiden.



De hoekpunten van zo'n $n$-hoek liggen op een cirkel met straal $r$. Deze $n$-hoek bestaat uit $n$ gelijkbenige driehoeken met basis $k$, hoogte $h$ en tophoek $\beta$. De oppervlakte van één zo'n driehoek is $\eqalign{
O_{driehoek} = \frac{1}
{2} \cdot k \cdot h}
$

Je krijgt dan:

$
\eqalign{
& h = r \cdot \cos \left( {\frac{\beta }
{2}} \right) \cr
& k = 2 \cdot r \cdot \sin \left( {\frac{\beta }
{2}} \right) \cr}
$

Invullen geeft:

$
\eqalign{
& O_{driehoek} = \frac{1}
{2} \cdot k \cdot h \cr
& O_{driehoek} = \frac{1}
{2} \cdot 2 \cdot r \cdot \sin \left( {\frac{\beta }
{2}} \right) \cdot r \cdot \cos \left( {\frac{\beta }
{2}} \right) \cr
& O_{driehoek} = r^2 \cdot \sin \left( {\frac{\beta }
{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{\beta }
{2}} \right) \cr
& O_{driehoek} = \frac{1}
{2} \cdot r^2 \cdot \sin \left( \beta \right) \cr}
$

Voor de oppervlakte van de regelmatige n-hoek kan je op dezelfde manier de formule voor een willekeurige waarde van $n$ afleiden:

$
\eqalign{
& O_{n - hoek} = \frac{1}
{2} \cdot n \cdot r^2 \cdot \sin \left( \beta \right) \cr
& \beta = \frac{{360^\circ }}
{n} \cr}
$

Oftewel:
$
\eqalign{O_{n - hoek} = \frac{1}
{2} \cdot n \cdot r^2 \cdot \sin \left( {\frac{{360^\circ }}
{n}} \right)}
$

Daarmee kan je voor een regelmatige n-hoek de oppervlakte uitrekenen.

Als je de hoeken liever in radialen wilt uitdrukken dan krijg je:

$
\eqalign{O_{n - hoek} = \frac{1}
{2} \cdot n \cdot r^2 \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}
{n}} \right)}
$

Voor $r=1$ en $n\to\infty$ zou hier dan $\pi$ uit moeten komen...

Naschrift
Dit kan ook:

$
\eqalign{O_{n - hoek} = n \cdot r^2 \cdot \sin \left( {\frac{\pi }
{n}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }
{n}} \right)}
$

Dat is ook leuk...

zondag 3 februari 2002

©2004-2024 WisFaq