Lijn- en puntsymmetrie

Hallo wisfaq,

Ik ben bezig met een hoofdstuk over even, oneven functies, lijnsymmetrie en puntsymmetrie. Ik snap het in grote lijnen wel maar ik vind het allemaal een beetje 'vaag'.

Dit is wat ze je geven als 'gereedschap' :

lijnsymmetrie:
f(s+a)=f(s-a)

puntsymmetrie:
punt van symmetrie: S(s,r)
(g(s+a)+g(s-a))/2 = r

Dan is het de bedoeling om de volgende oefening te maken die ik niet snap:

1)
Elk van de volgende functies heeft een symmetrische grafiek. Probeer eerst een vermoeden te krijgen omtrent het soort symmetrie en de ligging van de symmetrieas en het punt van de symmetrie. Geef dan het BEWIJS van de symmetie.



Uiteraard zijn dit niet alle functies maar misschien dat ik via uw hulp de rest zelf kan.

Vraag 2:
Ik heb nog een vraag over deze soort oefeningen, ik doe namelijk wiskunde B oude stijl en mag normaal gesproken geen GRM gebruiken, nu staat er bij de oefening van hierboven dat je eventueel iets mag gebruiken en met iets bedoelen ze je pc of grm, MAAR zonder dat is het toch ONMOGEIJK ? Want dan ZIE je de symmetrieas NIET (of punt) tenzij je de functie tekent of plot met een of andere programma? Dan bedacht ik me nog een probleem tot nu toe kreeg ik functies die precies door een punt gingen of door een symmetrieas , maar stel nou dat je een functie kreeg die niet loodrecht door een punt ging, hoe moet het dan ? Dan kun je alleen maar gokken of niet...?

Alvast bedankt voor uw antwoord.

Shahra
Iets anders - maandag 11 augustus 2003

Antwoord

Je geeft al aan dat je in feite een idee moet hebben hoe de grafiek er uit ziet om een vermoeden te hebben wat voor soort symmetrie de grafiek zal hebben(als er tenminste sprake is van symmetrie).
Als je gebruik mag maken van een GRM of PC is dat dus helder: plot de grafiek.
Bij wiskunde B oude stijl heb je ook het een en ander geleerd over eigenschappen van grafieken: nulpunen, maxima, minima, asymptoten. Op grond van deze eigenschappen kun je ook een grafiek tekenen.

Nu de twee functies die je hebt gegeven:
1)g heeft twee horizontale asymptoten: als x®¥ dan nadert g tot 4, als x®-¥ nadert g tot 0.
De grafiek van g heeft geen nulpunten (e^x is altijd groter dan nul!); eventueel toon je ook nog aan dat g geen extremen heeft (afgeleide, nul stellen, tekenschema).
Een schets zou je dan moeten kunnen maken.
Op grond van deze schets kun je het vermoeden krijgen van puntsymmetrie. Omdat de asymptoten zijn y=4 en y=0 moet het symmetriepunt tweede coördinaat 2 hebben. Oplossen g(x)=2 levert x=0.
Je moet nu dus proberen te bewijzen dat het punt (0,2) symmetriepunt is.
Dus te bewijzen: (g(a)+g(-a))/2=2. dus g(a)+g(-a)=4.
Invullen levert
4e^a/(e^a+1)+4e^-a/(e^-a+1)=4.
Zou dat verder lukken?

2)Zelfde soort aanpak:
l(x) is een orthogonale hyperbool met asymptoten y=4 en x=2. Vermoeden: snijpunt van de asymptoten is symmetriepunt.
Dus te bewijzen (l(2+a)+l(2-a))/2=4.
Zou dat verder lukken?

maandag 11 augustus 2003

Re: Lijn- en puntsymmetrie

©2001-2024 WisFaq