Afleiden van de somregel van sinus

Hoe kan ik van de regel sin (a+b)= sin a·cos b+ cos a·sin b de formules sin(2a) en sin(a/2) afleiden. Alvast bedankt, roeten

Philip
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 25 mei 2003

Antwoord

Hoi,

Formule afleiden voor sin($\alpha$+$\beta$) = sin$\alpha$·cos$\beta$ + cos$\alpha$·sin$\beta$

Beschouw onderstaande rechthoek



P en Q zijn zo gekozen dat $\angle$AQP = 90° en AP = 1.

$\angle$PQC = $\alpha$, want $\angle$BQA = 90° - $\alpha$ en $\angle$BQC = 180° (gestrekte hoek) $\Rightarrow$ $\angle$PQC = 180°-$\angle$BQA - $\angle$AQP = 180° - (90° - $\alpha$) - 90° = $\alpha$.

$\angle$APD = $\alpha$+$\beta$, dat zou je kunnen bewijzen a.d.h.v. een Z-hoek, want AB // DC $\Rightarrow$ $\angle$BAP = $\angle$DPA (je zou 't ook anders kunnen aanpakken: $\angle$ADP = 90°, $\angle$DAP = 90° - ($\alpha$+$\beta$) $\Rightarrow$ $\angle$ DPA = 180° - 90° - (90° - ($\alpha$+$\beta$)) = $\alpha$+$\beta$.

Nu gaan we 'n schema invullen (hou rekening met AP = 1)!



In de rechthoek geldt dat AD = BQ + QC. A.d.h.v. de tabel kunnen we laten zien dat sin($\alpha$+$\beta$) = AQ·sin$\alpha$+PQ·cos$\alpha$, want sin$\alpha$=^BQ/_AQ en cos$\alpha$=^CQ/_PQ en sin($\alpha$+$\beta$) = AD.

Invullen levert: AD = AQ·^BQ/_AQ + PQ·^CQ/_PQ $\Rightarrow$ AD = BQ + CQ.

We kunnen die AQ en PQ ook vervangen. Krijgen we sin($\alpha$+$\beta$) = cos$\beta$·sin$\alpha$ + sin$\beta$·cos$\alpha$ en aangezien bij de vermenigvuldiging de factoren van plaats mogen ruilen (want 4·3 = 3·4 bijvoorbeeld) mogen we ook schrijven sin($\alpha$+$\beta$) = sin$\alpha$·cos$\beta$+cos$\alpha$·sin$\beta$.

Om de regel van cos($\alpha$ + $\beta$) te bewijzen kun je gebruikmaken van het feit dat PD = AB - PC, en op analoge wijze krijg je dat cos($\alpha$+$\beta$) = cos$\alpha$·cos$\beta$ - sin$\alpha$·sin$\beta$ (we noemen deze formules de somformules)

Je kunt nu ook op de verschilformules hieruit afleiden, maar dan moet je wel weten dat cos(-t) = cos(t), sin(-t) = -sin(t).

Formule afleiden voor sin(2$\alpha$)

sin(2$\alpha$) = sin($\alpha$+$\alpha$). Dus gewoon $\beta$ vervangen door $\alpha$ in bovenstaande formule.

sin($\alpha$+$\alpha$) = sin$\alpha$·cos$\alpha$ + sin$\alpha$·cos$\alpha$ = 2sin$\alpha$·cos$\alpha$.

cos(2$\alpha$) gaat analoog, je krijgt cos²$\alpha$ - sin²$\alpha$ als uitkomst.

Formule afleiden van sin(¹/₂$\alpha$)

Vervang in bovenstaande formule $\alpha$ door ¹/₄$\alpha$.

sin(2·¹/₄$\alpha$) = 2sin(¹/₄$\alpha$)·cos(¹/₄$\alpha$)

Ik hoop dat het zo wat duidelijker is geworden, zo niet dan hoor ik het wel,

Groetjes,

Davy.

Zie Meer informatie...

zondag 25 mei 2003

Re: Afleiden van de somregel van sinus

©2001-2024 WisFaq