Reeksen

Hallo, ik had een vraag. Na hoeveel termen mag je de reeks voor sin x afkappen om sin x op 1 decimaal nauwkeurig te kunnen benaderen?? En is hier nog 1 of andere vuistregel voor?? Ik zou het namelijk niet weten en het is voor mijn po die ik morgenmiddig in moet leveren. HELP!!!! groetjes Lonneke

Lonnek
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 20 mei 2003

Antwoord

De stelling van Taylor zegt dat als f n+1 keer afleidbaar is in een bepaald interval dat dan

f(x) = f(a) + (x-a).f'(a) + ... + (x-a)^k/k!.f^(k)(a) + (x-a)^k+1/(k+1)!.f^(k)(b)

Let op de b in de laatste term, die de restterm wordt genoemd. De stelling zegt nu dat je altijd een b kan vinden die gelegen is tussen a en x, die de gelijkheid doet kloppen.

Stel dus nu dat je zo een reeks schrijft tot en met term k. Je weet dan dat de fout die je maakt exact gegeven wordt door de

RESTTERM = (x-a)^k+1/(k+1)!.f^(k+1)(b)

alleen weet je niet wat de waarde van b is die de gelijkheid doet kloppen. Nu is dat in jouw geval niet zo erg, omwille van de volgende procedure die we "afschatting van de restterm" noemen.

We nemen f=sin, a=0 (McLaurinreeks) en x=2 (we willen sin(2) berekenen. Ik vertel je nu al dat het aantal nodige termen om een bepaalde precisie te behalen afhankelijk is van x! (Extreem voorbeeld: sin(0)=0, alleen de constante term nodig en toch totale precisie!). Verder veronderstel ik dat je bedoelt dat de fout kleiner moet zijn dan 0,1. Dat is iets anders dan 1 decimaal nauwkeurig, voor dat laatste zou je eigenlijk al moeten weten wat de waarde is die je zal uitkomen. Om het voorbeeld wat leuker te maken ga ik een precisie eisen van 0,001.

Aangezien alle afgeleiden van de sinusfunctie op zich (eventueel verschoven) sinusfuncties zijn, liggen alle afgeleiden altijd tussen -1 en +1. Dus over RESTTERM kunnen we zeggen dat

|RESTTERM| 2^k+1/(k+1)!

We maken nu een tabelletje van het rechterlid in functie van k.

k=0 ® 2
k=1 ® 2
k=2 ® 4/3 = 1,3333...
k=3 ® 2/3 = 0,6666...
k=4 ® 4/15 = 0,2666...
k=5 ® 4/45 = 0,0888...
k=6 ® 8/315 = 0,02539682540...
k=7 ® 2/315 = 0,006349206349...
k=8 ® 4/2835 = 0,001410934744...
k=9 ® 4/14175 = 0,0002821869489...

Voor k=9 maken we dus een absolute fout die zeker kleiner is dan 0,000282... En inderdaad, stellen we

sin(x) x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + x⁹/9!

dan vinden we sin(2) 0,9093474427... terwijl de exacte waarde gelijk is aan sin(2) = 0,9092974268...

Opmerking: In de formule voor de RESTTERM bij de sinusfunctie zie je ook duidelijk dat je voor grotere x meer termen zal nodig hebben om een bepaalde precisie te bereiken. Het zal dan namelijk langer duren voor de faculteit in de noemer de macht in de teller zal hebben bedwongen.

dinsdag 20 mei 2003

©2001-2024 WisFaq