Ontbinden in factoren

In een boekje vonden bij de volgende stelling:
2x⁴-9x³+4x²+21x-18=0
geeft
(2x-3)(x-1)(x-2)(x-3)=0
Hoe zijn ze daarop gekomen?

D
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 24 april 2003

Antwoord

Elke veelterm kan in principe geschreven worden als een produkt van eentermen en tweetermen (die laatste natuurlijk zonder reele nulpunten, anders hadden we die ook op zijn beurt kunnen schrijven als produkt van eentermen).

Het komt er dus op aan de nulpunten te zoeken van de gegeven veelterm. Eentermen zijn heel gemakkelijk, voor tweetermen is er de formule mbv de discriminant, en ook voor derde- en vierdegraadsveeltermen bestaan er formules, maar die zijn een beetje te ingewikkeld om hier te gebruiken.

We moeten er een beetje op vertrouwen dat diegene die de opgave heeft bedacht, de nulpunten van de veelterm niet te ingewikkeld heeft genomen. Iets concreter: als de nulpunten van een veelterm rationale getallen (=breuken van gehele getallen) zijn, en die veelterm gehele getallen heeft als coefficienten, dan bestaat er een eenvoudige manier om die te vinden.

Noem de constante term A = 18
Noem de coefficient van de hoogste x-macht B = 2

Dan zegt een handige stelling dat ALS er breuken zijn die nulpunt zijn van de veelterm, DAN zijn die van de vorm

±[een deler van A]/[een deler van B]

Als A en B veel delers hebben, kan het een tijdje duren vooraleer je alle mogelijkheden in de veelterm hebt gestopt om te controleren of ze de veelterm nul maken of niet, maar bovenstaande methode garandeert hoe dan ook dat je ze zal vinden.

In jouw voorbeeld:

delers van A : 1,2,3,6,9,18
delers van B : 1,2

te proberen waarden:
1/1,2/1,3/1,6/1,9/1,18/1
1/2,2/2,3/2,6/2,9/2,18/2
-1/1,-2/1,-3/1,-6/1,-9/1,-18/1
-1/2,-2/2,-3/2,-6/2,-9/2,-18/2

Merk op dat deze getallen niet alle verschillend zijn (bv: 18/2 = 9/1, 6/2=3/1), dus het wordt minder werk dan het op het eerste zicht lijkt.

Je zal zo uiteindelijk vinden dat 1,2,3 en 3/2 nulpunten zijn van de veelterm. Dat wil zeggen dat die te schrijven is als

k(x-1)(x-2)(x-3)(x-3/2)

voor een of andere k. Die k zal de coefficient worden van de hoogste macht in x, dus k=B. Uiteindelijk bekom je dan

(x-1)(x-2)(x-2)(2x-3)

donderdag 24 april 2003

©2001-2024 WisFaq