\require{AMSmath}
Drie dobbelstenen
Je hebt drie dobbelstenen, waarmee je een keer gooit. Het totaal aantal ogen van deze worp onthoud je. Hierna gooi je deze drie dobbelstenen nóg een keer, telt weer het aantal ogen bij elkaar op en vermenigvuldigt dit totaal met de uitkomst van de eertse worp.
Wat is de kans op een uitkomst kleiner dan honderd?
Ouder - dinsdag 18 juni 2024
Antwoord
Hallo J,
Deze vraag is zeer geschikt voor nog eens een regenachtig weekend ...
Maak eerst een kansverdeling van het totaal aantal ogen wanneer je met drie dobbelstenen gooit. Dat wil zeggen: bereken voor elk mogelijk aantal ogen de kans dat dit optreedt. Ik geef enkele voorbeelden:
3 ogen:
De enige mogelijkheid om dit te bereiken, is drie keer een 1 gooien. De kans op drie ogen is 1/6·1/6·1/6 = 1/216
6 ogen:
Dit kan o.a. worden bereikt met de combinatie 1, 1, 4. Dit kan op 3 manieren, want de 4 kan door drie verschillende dobbelstenen worden gegooid. De kans op twee keer 1 en één keer 4 is zodoende 1/6·1/6·1/6·3 = 3/216.
Je bereikt dit ook met de combinatie 1, 2, 3. Dit kan op 6 manieren: 3 mogelijkheden voor de 1, dan nog 2 mogelijkheden voor de 2, dan ligt de 1 vast. Zoedoende zijn er 3·2=6 mogelijkheden. De kans op een 1, een 2 en een 3 is dan 1/6·1/6·1/6·6 = 6/216.
Tot slot kan je aan 6 ogen komen met 3 keer een 2. Dit kan maar op één manier, deze kans is dus 1/6·1/6·1/6 = 1/216.
De totale kans op 6 ogen komt hiermee op 3/216+6/216+1/216 = 10/216.
Doe hetzelfde voor alle mogelijke uitkomsten, dus 3 t/m 18 ogen. Je zult zien dat het berekenen van de kans op 10 of 11 ogen het meeste rekenwerk vraagt. Voor beide aantallen geldt dat dit aantal op 27(!) manieren bereikt kan worden, waarmee voor beide aantallen de kans op 27/216 komt.
Je eindigt met een tabel met daarin het aantal ogen en de bijbehorende kans, in 216-sten. Een deel van deze tabel zie je hieronder:
Maak nu nog een tabel (rooster) waarin je horizontaal de ogen van de eerste worp uitzet (dus 3 t/m 18) en verticaal de ogen van de tweede worp (weer 3 t/m 18). Een deel van deze tabel zie je hieronder:
In elke cel noteer de de kans dat deze combinatie van eerste en tweede worp optreedt. Ik geef drie voorbeelden:
De kans op 3 ogen is 1/216, daarmee komt de kans op 3 ogen in de eerste worp èn 3 ogen in de tweede worp op 1/216·1/216=1/46656. In cel (3 , 3) noteer je deze kans 1 (kans in 46656-sten).
De kans op 'eerste worp 3 ogen en tweede worp 6 ogen' is 1/216·10/216=10/46656. In cel (3 , 6) noteer je dus 10. Ook in cel (6 , 3) noteer je 10, want deze kans is hetzelfde.
In cel (6 , 6) noteer je 100, want de kans op 'eerste worp 6 en tweede worp 6' is 10/216·10/216=100/46656.
Zo eindig je met een tabel met de kansen op elke mogelijke worp, in 46656-sten. Tel tot slot alle waarden op van cellen die behoren bij worpen waarbij het product kleiner is dan 100. Dit totaal, gedeeld door 46656, levert de gevraagde kans.
Tip 1: zet eerst een kruis in cellen die overeenkomen met worpen met een product van minstens 100, zoals (18 , 6) t/m (18 , 18). Dat scheelt rekenwerk.
Tip 2: gebruik een spreadsheet waarmee je veel berekeningen kunt automatiseren.
Ik kom hiermee op een kans van wat minder dan een half. Jij ook?
©2004-2024 WisFaq
|