\require{AMSmath}

Auto covariantie

Bron: Johnston,Dinardo Econometric methods, 4e editie , pag.208

Stel een stationaire AR(1) times serie (lag 1)
x(t) = alpha * x(t-1) + e(t) met x(t) = y(t) - mu

Ik vermenigvuldig beide zijden met x(t-2) en neem de expectations.

E[x(t)*x(t-2)] = alpha E[x(t-1)*x(t-2)] + E[(e(t)*x(t-2)] =

covariantie[x(t),x(t-2)] = alpha * covariantie[(x(t-1),x(t-2)]
Oftewel: gamma(2) = alpha * gamma(1)

Is dit wel correct, vraag ik mij af?

gamma(1) is toch covariantie([x(t),x(t-1)] en NIET covariantie[(x(t-1),x(t-2)]. Bij covariantie[(x(t-1),x(t-2)] is immers het aantal observaties 1 minder dan covariantie([x(t),x(t-1)].

Ik neem als voorbeeld de observaties x(5) = {1,4,5,7,4) met mu = gemiddelde = 4,2.
Dus x(4) = {1,4,5,7} en x(3) = {1,4,5}

cov[x(5),x(4)] is dan niet gelijk aan cov[x(4),x(3)]

dus kan covariantie[x(5),x(3)] toch niet gelijk zijn aan alpha * covariantie[x(5),x(4)] ? Maw gamma(2) kan dan niet gelijk zijn aan alpha * gamma(1).

Misschien dat u het ziet.

Alvast dank.

Mvg, Jakob.

Student universiteit - maandag 1 april 2024

Antwoord

Ik ken het boek niet, en onze bibliotheek heeft het ook niet maar aan de definitie van de $x(t)$ te zien is $x(t)$ altijd een getal en geen verzameling waarnemingen. Dus je voorbeeld laat iets anders zien dan je denkt.
Voor elke $t$ heeft de verzameling waarden van $x(t)$ een kansverdeling die aangeeft hoe die waarden verdeeld zijn, genomen over alle mogelijke tijdreeksen die door je formule gegenereerd worden.

Verder, maar dit is koffiedikkijken omdat ik het boek niet heb, krijg ik de indruk dat eerder in het boek is afgeleid dat voor elke $t$ het paar kansvariabelen $\langle (x(t), x(t-1)\rangle$ dezelfde covariantie hebben: die indruk krijg ik omdat die $\gamma(1)$ wordt genoemd, onafhankelijk van $t$. En dan wordt nu afgeleid dat hetzelfde geldt voor de paren $\langle x(t),x(t-2)\rangle$, dat geeft weer een constante $\gamma(2)$ en de relatie $\gamma(2)=\alpha\cdot\gamma(1)$.

Zoek ook maar eens op wat `stationair' hier betekent: wellicht zitten daar aannamen over die kansverdelingen van de $x(t)$ in.

©2004-2024 WisFaq