\require{AMSmath}

Een integraal berekenen

Beste meneer/mevrouw

Ik heb maandag een schoolonderzoek over integreren en heb uw hulp nodig. Kunt u voor mij kijken als ik deze opgave juist heb gemaakt en zoniet zeggen waar mijn fout is.
Al vast bedankt.

De opgave luidt als volgt:$\int{}$2x²+1/x²+x-2

Uitwerking
$\int{}$2x²+1/x²+x-2dx=2$\int{}$dx+$\int{}$-2x+5/x²+x-2

$\int{}$-2x+5/x²+x-2 dx=-$\int{}$2x+5-4/x²+x-2dx+$\int{}$4/x²+x-2dx
=-ln x²+x-2 + 4$\int{}$1/x²+x-2dx
=-ln x²+x-2 + 4:-4/9$\int{}$1/(x+1/4)²+1dx
=-ln x²+x-2 -9 arctan (x+ ¹/₄)

$\int{}$2x²+1/x²+x-2 is dus 2x-ln(x²+x-2)-9arctan(x+1/4)

nogmaals bedankt

janine
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 12 april 2003

Antwoord

Het lijkt me helaas niet correct:
$\int{}$(2x²+1)/(x²+x-2)dx = $\int{}$2dx + $\int{}$(-2x+5)/(x²+x-2)dx tot zover OK
Maar wanneer je de noemer nog kunt ontbinden moet je vervolgens breuksplitsing toepassen. Dat betekent dat je op de volgende manier splitst: (x²+x-2) is te ontbinden in (x-1)(x+2) schrijf nu:
(-2x+5)/(x²+x-2) als A/(x-1)+B/(x+2). Als die laatste breuken weer samenneemt (gelijknamig maken) krijg je {A(x+2)+B(x-1)}/{(x-1)(x+2)}
Maar die teller moet -2x+5 opleveren dus Ax+2A+Bx-B = -2x+5
Dat levert op: A+B=-2 en 2A-B=5 $\Rightarrow$A=1 en B=-3. We krijgen dus:
2x+$\int{}$1/(x-1)-3/(x+2)dx = 2x + ln|x-1| - 3ln|x+2| + c

Het loopt bij jou echt fout als je naar die arctan toerekent.

Met vriendelijke groet

JaDeX

jadex
zaterdag 12 april 2003

©2001-2024 WisFaq