\require{AMSmath}

Los veelterm algebraisch op

Beste,

Gegeven is dat de veelterm $x^4 - 3x^3 + px^2 + qx + r$ deelbaar is door $x + 1$ en $x^2 - 2x + 2$. Gevraagd is om algebraïsch te bepalen waar $(p+q)r$ gelijk aan is. Ik heb eerlijk gezegd geen idee hoe ik dit moet aanpakken want ik dacht eerst zelf ontbinden in factoren, namelijk: $x^4 - 3x^3 + px^2 + qx + r$ = $z (x + 1) (x^2 - 2x + 2)$ met $z \neq 0$, maar dit lijkt al mis te gaan want wie zegt dat het product van de twee delers zelf ook een deler is? Dat gaat namelijk fout in dit voorbeeld: 30 is deelbaar door 15 en 10 maar niet door het product, 150. Ik weet ook niet of dit de beste aanpak is. Hulp is gewenst.

Vriendelijke groet,

Ramoy

Student universiteit - maandag 5 februari 2024

Antwoord

Je twijfel is goed, maar hier niet op zijn plaats. In je voorbeeld hebben $15$ en $10$ factor gemeen: $5$, en die zorgt voor het probleem.

In de opgave is de ggd van de twee factoren gelijk aan $1$, dus het polynoom is deelbaar door hun product. Er zijn andere dingen die je kunt gebruiken: als $x+1$ een deler is van een polynoom $p(x)$ dan geldt $p(-1)=0$, en dat geeft een vergelijking in $p$, $q$, en $r$.
Je kunt je $p(x)$ delen door $x^2-2x+2$, dan krijg je twee uitdrukkingen in $p$, $q$, en $r$ die gelijk aan nul moeten zijn. Uit die drie vergelijkingen kun je $p$, $q$, en $r$ oplossen.

Alternatief: je kent drie nulpunten van $p(x)$, namelijk $-1$, $1+i$, en $1-i$ (complex, dat wel). De som van de vier nulpunten is gelijk aan $3$, dus ken je het vierde nulpunt ook, en daarmee kun je $p(x)$ reconstrueren.

©2004-2024 WisFaq