Gegeven is dat de veelterm x^4 - 3x^3 + px^2 + qx + r deelbaar is door x + 1 en x^2 - 2x + 2. Gevraagd is om algebraïsch te bepalen waar (p+q)r gelijk aan is. Ik heb eerlijk gezegd geen idee hoe ik dit moet aanpakken want ik dacht eerst zelf ontbinden in factoren, namelijk: x^4 - 3x^3 + px^2 + qx + r = z (x + 1) (x^2 - 2x + 2) met z \neq 0, maar dit lijkt al mis te gaan want wie zegt dat het product van de twee delers zelf ook een deler is? Dat gaat namelijk fout in dit voorbeeld: 30 is deelbaar door 15 en 10 maar niet door het product, 150. Ik weet ook niet of dit de beste aanpak is. Hulp is gewenst.
Vriendelijke groet,
Ramoy
Ramoy
Student universiteit - maandag 5 februari 2024
Antwoord
Je twijfel is goed, maar hier niet op zijn plaats. In je voorbeeld hebben 15 en 10 factor gemeen: 5, en die zorgt voor het probleem.
In de opgave is de ggd van de twee factoren gelijk aan 1, dus het polynoom is deelbaar door hun product. Er zijn andere dingen die je kunt gebruiken: als x+1 een deler is van een polynoom p(x) dan geldt p(-1)=0, en dat geeft een vergelijking in p, q, en r. Je kunt je p(x) delen door x^2-2x+2, dan krijg je twee uitdrukkingen in p, q, en r die gelijk aan nul moeten zijn. Uit die drie vergelijkingen kun je p, q, en r oplossen.
Alternatief: je kent drie nulpunten van p(x), namelijk -1, 1+i, en 1-i (complex, dat wel). De som van de vier nulpunten is gelijk aan 3, dus ken je het vierde nulpunt ook, en daarmee kun je p(x) reconstrueren.
