\require{AMSmath}

Vectorruimte

Wat is het verschil tussen "De vectorruimte van alle veeltermen
van graad 2 of minder is een vectorruimte" en "De verzameling tweedegraads polynomen is geen vectorruimte", ik heb het bewijs een paar keer bekeken maar ik begrijp niet waarom de een wel een vectorruimte is en de ander niet.

Student universiteit - maandag 22 januari 2024

Antwoord

De som van twee tweedegraadspolynomen is niet noodzakelijk weer tweedegraads: bijvoorbeeld $(x^2+2x+1)+(-x^2+3x+2)=5x+3$ is eerstegraads.
De verzameling $T$ van tweedegraadspolynomen voldoet dus niet aan de eis "als $p,q\in T$ dan $p+q\in T$", en is daarmee geen deel(vector)ruimte.

Ook zie het nulpolynoom niet in $T$ en het nul polynoom zit in elke deel(vector)ruimte.

Kortom: $T$ voldoet niet aan alle eisen.

De verzameling $P_2$ van alle polynomen van graad $2$ of minder voldoet wel aan de deelruimte-eisen; dat staat ongetwijfeld netjes uitgelegd in die bewijzen die je bekeken hebt.

©2004-2024 WisFaq