\require{AMSmath}

Differentieren met machten

Ik snap niet hoe je moet differentiëren als je een getal hebt met tot de macht nog iets. Bijvoorbeeld:

f(x) = 6 ·3^2x-1

Ik denk dat je de productregel moet gebruiken, maar ook dan snap ik het niet en kom ik niet op het antwoord: 4ln(3) ·3²x

Kaylee
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 29 augustus 2018

Antwoord

Hallo Kaylee,

Hier staat niet een product van twee functies, dus is de productregel niet relevant. Je hebt hier te maken met de kettingregel.

Als het goed is weet je:

f(x)=3^x geeft als afgeleide: f'(x)=3^x·ln(3)

Helaas is in jouw opgave de exponent niet 'gewoon' x, maar een functie van x: (2x-1) in plaats van (x). In dat geval moet je de kettingregel toepassen. Dat werkt als volgt:

• Eerst bepaal je de afgeleide op dezelfde manier als je zou doen wanneer de exponent 'gewoon' x zou zijn:
  f(x)=3^(2x-1) geeft f'(x)=3^(2x-1)·ln(3) ......
  
• Vervolgens zet je achter dit geheel een vermenigvuldigingsteken. Plaats voor het overzicht hierachter alvast een haakje-openen:
  f(x)=3^(2x-1) geeft f'(x)=3^(2x-1)·ln(3) · (......)
  
• Tot slot komt achter dit vermenigvuldigingsteken de afgeleide van die 'ingewikkelde' exponent. Gebruik haakjes om overzicht te houden:
  
• f(x)=3^(2x-1) geeft f'(x)=3^(2x-1)·ln(3)·(2)
  (In dit geval is de afgeleide van de exponent een enkele factor 2 en zijn die haakjes niet nodig, maak er toch een gewoonte van om die haakjes te plaatsen).
  
• Voor het overzicht heb ik de factor 6 even weggelaten. Met factor 6 wordt dit:
  
• f(x)=6·3^(2x-1) geeft f'(x)=6·3^(2x-1)·ln(3)·(2)

Vervolgens netjes herleiden:

f'(x)=6·3^(2x-1)·ln(3)·(2)
Overbodige haakjes weg:
f'(x)=6·3^(2x-1)·ln(3)·2
f'(x)=12ln(3)·3^(2x-1)
f'(x)=12ln(3)·3^(2x)·3^-1
f'(x)=12ln(3)·3^(2x)·¹/₃
f'(x)=4ln(3)·3^(2x)

In je boek staat vast nog wat meer uitleg over de kettingregel.

---

• Zie ook 7. Exponentiële functies

GHvD
woensdag 29 augustus 2018

Re: Differentieren met machten

©2001-2024 WisFaq