\require{AMSmath}

Bepaal de coëfficiënt van x³

Beste

Kan u mij helpen met onderstaande opgave? Het zou door middel van een combinatie opgelost moeten worden, maar ik slaag er niet in...

Bepaal zonder volledige uitwerking de coëfficiënt van x^3 in:

\eqalign{(2x+\frac{1}{x^2})^9}

Alvast bedankt

Groetjes
Liese

Liese
3de graad ASO - zaterdag 18 juni 2016

Antwoord

het binomium van Newton

{\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {b^k}

Waarbij:

\eqalign{ & a = 2x \cr & b = \frac{1}{{{x^2}}} \cr & n = 9 \cr}

Kies k zo dat geldt:

\eqalign{{\left( {2x} \right)^{9 - k}} \cdot {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^k} = ... \cdot {x^3}}

Bedenk dat je k zo moet kiezen dat 9-k-2k gelijk aan 3 wordt. Het oplossen van 9-k-2k=3 geeft k=2.

Je komt dan uit op:

\begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ 2 \end{array}} \right) \cdot {\left( {2x} \right)^7} \cdot {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} = \\ 36 \cdot 128{x^7} \cdot {x^{ - 4}} = \\ 4608{x^3} \end{array}

De coëfficiënt van x^3 is 4608. Helpt dat?

WvR
zaterdag 18 juni 2016

©2001-2025 WisFaq