\require{AMSmath}

Bewijzen door deelbaarheid

Wij moeten een werkstuk maken voor wiskunde en wij hebben gekozen voor het onderwerp: hoe kun je zien of een groot getal (2734864783038906) deelbaar is door een getal van 1 tot 15. De antwoorden op deze vraag hebben we al gevonden, maar het bewijs dat die formules werken nog niet. Nu hopen wij dat u ons daarmee kunt helpen.

Imp
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 15 juli 2001

Antwoord

Bewijzen is een groot woord, maar hierbij wat suggesties:

deelbaarheid 2,4,8,.... gaat allemaal zo:

deelbaar door 2:
elk getal 2·n + 10·p (met n = 0...4 en p = 0,1,2,3....) is deelbaar door 2, omdat 2.n en 10·p deelbaar zijn door 2. Deze vorm levert voor verschillende a en p een getal op dat eindigt op een 0, 2, 4, 6 of 8.....

deelbaar door 4:
Elk getal 4·n + 100·p (met n = 0...24 en p = 0,1,2,3....) is deelbaar door 4, omdat 4.n en 100·p deelbaar zijn door 4. Deze vorm levert voor verschillende a en p een getal waarvan de laatste 2 cijfers deelbaar zijn door 4.

enz....

Voor 5 en 10 kan je hetzelfde doen....

Voor 3 en 9 heb je wel een bewijsje nodig.....

deelbaar door 3:
voorbeeld 24123:
2·10⁴ + 4·10³ + 1·10² + 2·10¹ + 3·10⁰ = 24123
als je nu links en rechts modulo 3 rekent.....

(2·10⁴ + 4·10³ + 1·10² + 2·10¹ + 3·10⁰) mod 3 = 24123 mod 3
(2.1 + 4.1 + 1.1 + 2.1 + 3.1) mod 3 = 24123 mod 3
(2+4+1+2+3) mod 3 = 24123 mod 3
12 mod 3 = 24123 mod 3
We zien dat de deelbaarheid door 3 van de som van de cijfers (links) hetzelfde is als de deelbaarheid door 3 van het hele getal (rechts).

Voor 9 kun je hetzelfde doen. Je moet dan wel even weten wat modulo-rekenen is....:-)

Zie Meer deelbaarheid

WvR
zondag 15 juli 2001

©2001-2024 WisFaq