Formules voor piramidegetallen in de driehoek van Pascal
Piramideformules. Geef ook 2 formules voor P(n). De eerste drukt P(n) uit in D(n), D(n-1) en wat je verder nog meer nodig hebt (kortom, een piramidegetal wordt uitgedrukt in uitsluitend driehoeksgetallen). De tweede drukt P(n) uit in P(n-1) en D(n).
Remco
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 10 december 2003
Er zijn een heleboel verschillende piramidegetallen, net als bij een 'gewone' piramide kan je verschillende vormen tegen komen, met een driehoekige stapeling, een vierkante stapeling, een vijfhoekige enz. Op Polyhedral Numbers kan je er meer over vinden.
Nu de vierkante piramide getallen. In de driehoek van Pascal kan je ze (zoals gezegd) ook vinden:
Dus: 1, 4, 10, 20, 35, 56,...
Precies schuin daarboven zitten de driehoeksgetallen en als je goed kijkt dan zie je dat tussen zo'n piramidegetal en de driehoeksgetallen erboven een verband bestaat! (Ook wel de sok van de driehoek van Pascal genoemd)
..en alsof dat nog niet genoeg is bestaat het vierde piramidegetal dus uit 4 driehoeksgetallen... nou ja, dan vraag ik je! Zou dat altijd zo zijn? Kan je dan niet heel makkelijk een 'uitdrukking' bedenken voor P(n)?
Die andere 'uitdrukking' is nu ook niet zo moeilijk meer..., want als je P(n) kunt uitdrukken in driehoeksgetallen kan je dat met P(n-1) ook.. en dan... weet je 't dan? Trouwens in de driehoek van Pascal kan je de formule eigenlijk al zo zien! Open de ogen!
Zou dat altijd zo zijn? Kan je dan niet heel makkelijk een 'uitdrukking' bedenken voor P(n)?