\require{AMSmath}

Derdegraads vergelijkingen

Van de vergelijking x³-3x²+x+1=0 is x=1 een oplossing. Hoe kun je dan laten zien dat p-1=3, q-p=1 en -q=1 is?

...en hoe kun je dan de waarden van p en q benaderen met de abc-formule in twee decimalen? Zou u het in gewone taal kunnen beantwoorden anders snappen we er alsnog niets van.

helen
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 4 maart 2008

Antwoord

Het duurde wel even voordat ik door had wat jullie precies met die p en q bedoelden. Maar ik denk dat ik het nu begrijp.
Ik veronderstel dat jullie het volgende bedoelen:
Omdat x=1 een oplossing is van x³-3x²+x+1=0 kun je de vergelijking schrijven in de vorm:
(x-1)(x²+px+q)=0.
Om nu te laten zien dat dan geldt p-1=3, q-p=1 en -q=1 doe je het volgende:
Je werkt de haakjes van (x-1)(x²+px+q) weer weg. Je krijgt dan:
x³+px²+qx-x²-px-q
Combineren levert:
x³+(p-1)x²+(q-p)x-q;
en dat moet voor alle x hetzelfde zijn als
x³-3x²+x+1
Het getal voor de x² is bij de een -3 en bij de ander p-1, dus p-1=-3 (en dat is wat anders dan jullie zeggen)
Het getal voor de x is bij de een 1 en bij de ander q-p, dus q-p=1
Het losse getal is bij de een 1 en bij de ander -q, dus -q=1.

p en q benaderen met de abc formule?
Uit p-1=-3 volgt direct p=-2.
Uit -q=1 volgt direct q=-1
Controleren in q-p=1 levert -1-(-2)=1 en dat klopt.

Dus de vergelijking wordt (x-1)(x²-2x-1)=0.
Dus moet x=1 of x²-2x-1=0.
Op dat laatste mag je nu zelf de abc-formule toepassen om x te vinden.

hk
dinsdag 4 maart 2008

©2001-2024 WisFaq