Uitslag van een excentrische afgeknotte scheve kegel
Hoe teken ik de ontvouwing van een afgeknotte kegel die uit zijn center staat?
Bart V
Iets anders - dinsdag 1 oktober 2002
Antwoord
Hoi,
Dit is een hele leuke...
We stellen de kegelmantel voor door een vast punt o (de top van de kegel) en een 3D (enkelvoudige) parametrische kromme: u(t) waarbij we t bijvoorbeeld van 0 tot 2p laten lopen. (u(t) is een 3D vector)
Als u(t) bestaat uit aaneengesloten lijnstukken, dan hebben we een piramide. De mantel bestaat dan uit driehoekjes die makkelijk om te vouwen zijn. Een willekeurige kromme u(t) (die aan een aantal ruime voorwaarden voldoet) kunnen we zo dicht benaderen met een 3D veelhoek als we willen. Elk elementair lijnstukje, verbonden met de tophoek o vormt dan een driehoekje van de ontvouwing.
(u(t), u'(t) zijn 3D vectoren...) Met n(u) stellen we de norm van vector u voor. Dus: n(u)=Öu.u
Als we de omvouwing in poolcoördinaten voorstellen door (r(t),q(t)) dan geldt:
r(t)= n(u(t))
Omdat u(t)@u(t+dt) voor dt®0, is ook de hoogtelijn van de gelijkbenige driehoek gevormd door u(t) en u(t+dt) te benaderen door u(t). Dus is (n(u'(t).dt)/2)/n(u(t))tg(dq(t)/2)dq(t)/2. Zodat: dq(t)=n(u'(t))/n(u(t)).dt En dus: q(t)=int(n(u'(s))/n(u(s)).ds,s:0..t)
In functie van t hebben we dus een parametrische voorstelling van de ontvouwing...
Voor een gewone rechte kegel met hoogte H en straal R van het cirkelvormige grondvlak hebben we: u(R.cost,R.sint,H) en dus: u'(-R.sint,R.cost,0). Dus: n(u(t))=ÖR2+H2 en n(u'(t))=R. Zodat: r(t)= ÖR2+H2 en q(t)= Rt voor t tussen 0 en 2p. Dit klopt met de inuïtie: een cirkelsector met straal ÖR2+H2 en booglengte 2pR.
Voor je afgeknotte kegel die 'uit zijn center staat', moet je dus eerst een vergelijking opstellen voor de bovenste en de onderste 'rand'. Je kan dan de vergelijking in poolcoördinaten van beide ontvouwingen (numeriek) berekenen en tekenen (met computer wel te verstaan).
Tip: van die poolcoördinaten ga je makkelijk naar carthesiaanse coördinaten: x(t)=r(t).cos(q(t)) en y(t)=r(t).sin(q(t))
Groetjes, Johan
PS 1.: zoek je eens uit wat er gebeurt als u(t) 'knopen' (kromme snijdt zichzelf, zoals oneindig-teken) heeft? Let op overgang binnen- en buitenkant van het oppervlak... PS 2.: wat als u(t) in een vlak ligt door o? Als o 'binnen'/'buiten' de kromme ligt? PS 3.: enige zinvolle betekenis voor de formules wanneer u(t) +3D is? PS 4.: Ook voor de oppervlakte van de mantel vinden we zo makkelijk een formule...
tg(dq(t)/2)