\require{AMSmath}

Impliciet gedefinieerde functies

ik heb de impliciete uitdrukking x³+2xy+3y³-6=0. De afgeleide naar x levert op 3x²+2y+2x·y'+3·3y²·y'-0=0. Maar heo ik daar aan kom berijp ik niet. Er word gezegd dat de ketingregel moet toegepast worden in uitdrukking waar een y in voorkomt. Maar ik zie niet in hoe ik dat met de ketingregel kan oplossen.

ward
Student Hoger Onderwijs België - maandag 30 mei 2005

Antwoord

Beste Ward,

Blijkbaar snapte je de uitleg op Impliciet afleiden niet helemaal, maar ik raad je aan deze nog eens even na te lezen. Ik zal proberen je concreet voorbeeld hier wat duidelijker te maken.

Korte herhaling: bij impliciete functies (zoals hier het geval) is y geen onafhankelijke functie van x, y hangt hier dus van x af. Om dit te benadrukken is het misschien nuttig y verder te noteren als y(x).

Je functie: f(x,y) = x³ + 2*x*y(x) + 3*y(x)³ - 6 = 0

De afgeleide van f(x,y) naar x is dan:



Nu bekijken we dit even term per term. De eerste term is makkelijk, dat wordt gewoon 3x². De laatste is ook eenvoudig, die wordt uiteraard 0.
Termen 2 en 3 zijn moeilijker. We bekijken ze term per term.
Normaalgezien is de afgeleide van "2xy" naar x gelijk aan "2y", want je kan y als een constante beschouwen in x. Nu is dat niet meer zo, y hangt af van x, y is functie van x! Met andere woorden, nu staat er een product van 2 functies (x en y(x)) die beiden van x afhankelijk zijn. Je moet dus de productregel gebruiken om dit af te leiden: (fg)' = gf'+fg'



Voor de afgeleide van y(x) naar x noteren we y'(x) dus krijgen we: 2y(x) + 2xy'(x). Als je nu terug gewoon y noteert ipv y(x) heb je de termen in jouw oplossing.

In de 3e term heb je geen productregel nodig, maar doordat y afhankelijk is van x zal die term niet wegvallen. Uit de kettingregel volgt dat:
¶f/¶x = ¶f/¶y * ¶y/¶x dus:



Raap alle termen terug samen en je vindt jouw gegeven oplossing.
De grondgedachte vind je in mijn antwoord op die vorige vraag, je moet opletten met het feit dat y hier afhankelijk is van x. Omdat je niet weet hoe die functie eruit ziet kan je die afgeleide niet expliciet uitrekenen, maar hij moet er wel staan. Daarom laten we gewoon die onbekende afgeleide ¶y(x)/¶x of ¶y/¶x staan en we noteren hem verkort y'.

mvg,
Tom

td
maandag 30 mei 2005

©2001-2024 WisFaq