\require{AMSmath}

PO fibonacci

Voor mijn PO wiskunde moet ik voor een aantal rijen, formules vinden en ze bewijzen. Ik heb voor 6 van de 7 al een formule gevonden, ik heb alleen geen flauw idee hoe ik ze moet bewijzen. Kunt u alstublieft vertellen hoe ik ze zou moeten bewijzen? ik kom echt niet verder en moet dinsdag mijn po al inleveren, alvast heel erg bedankt.

1: F(1)+F(3)+F(5)+....+F(2n-1)=F(2n)
2: F(2)+F(4)+F(6)+....+F(2n)=F(2n-1)-1
3: (F(n))²+(F(n+1))²=F(2n+1)
4: F(n-1)·F(n+1)-(F(n))²=1 voor n:even en -1 voor n:oneven
5: (F(1))²+(F(2))²+(F(3))²+....+(F(n))²=F(n)·F(n+1)
6: F(1)·f(2)+F(2)·F(3)+....+F(2n-1)·F(2n)=(F(2n))²
7: vind een formule voor de grootste gemene deler van F(n) en F(m) (voor de kan ik al geen formule vinden dus ook niet bewijzen)

Huygie
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 9 juni 2002

Antwoord

Ik zal een enkel bewijs laten zien en dan heb je misschien zelf wel een idee om verder te kunnen.
Er zitten overigens best een paar lastige gevalletjes bij!

Vooraf een betrekking waar je niet naar vraagt, maar die ik voor nummer 2 wil gebruiken.

F(1) = F(3) - F(2)
F(2) = F(4) - F(3)
F(3) = F(5) - F(4)
...
...
...
F(n-1) = F(n+1) - F(n)
F(n) = F(n+2) - F(n+1)

Als je wat hierboven staat nou optelt, zowel links als rechts van de = tekens, dan krijg je
F(1) + F(2) + F(3) + ....... + F(n) = F(n+2) - 1

Nu je eerste formule:

F(1) = F(2), F(3) = F(4) - F(2), F(5) = F(6) - F(4) enz.
Optellen van deze identiteiten geeft je eerste formule:
F(1) + F(3) + F(5) .....+ F(2n-1) = F(2) + (F(4) - F(2)) + (F(6) - F(4))........ en je ziet dat tussen de haakjes vrijwel alles tegen elkaar wegvalt.

Formule 2 kun je op dezelfde manier bewijzen. Gebruik daarvoor de formule waarmee ik begon en combineer dat met hetgeen je zojuist in formule 1 bewezen zag.
Misschien nog iets duidelijker: de formule waarmee ik begon telt alle termen bij elkaar op. Als je uit die optelsom alle 'oneven' termen wegstreept, dan hou je precies alle 'even' termen over. En de optelsom van de oneven termen was precies de inhoud van je formule 1.

Nummer 5 kun je bewijzen door te gebruiken dat F(n).F(n) = F(n).F(n+1) - F(n).F(n-1) (zolang n2)

De formule die je bij 7 zoekt luidt:
GGD(F(n),F(m)) = F(GGD(n,m))
Als voorbeeldje: F(16) = 987 en F(12) = 144
De GGD van 987 en 144 is gelijk aan 3.
De GGD van 16 en 12 is gelijk aan 4.
F(4) = 3 is inderdaad de GGD van 987 en 144.
Het bewijs van deze formule dat mij bekend is, is niet erg eenvoudig en (maar ik zeg het voorzichtig) lijkt mij buiten een PO te moeten blijven.

Hopelijk ben je wat verder en heb ik me met al die getalletjes niet vertypt!

MBL
zondag 9 juni 2002

©2001-2024 WisFaq