\require{AMSmath}

In een boldriehoek is de som van de hoeken altijd groter dan 180 graden

Hallo,
Wij zijn bezig met een PO voor wiskunde, en we zitten met een vraag: Hoe bewijs je dat, in een boldriehoek, de som van de 3 hoeken altijd groter is dan 180 graden.
Dank u!

Bart e
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 9 juni 2004

Antwoord

Even wat voorkennis:

Ik ga in dit bewijs werken met radialen. Ik neem aan dat je daar mee bekend bent.

Het overschot van de som van de hoeken boven p (=180°) wordt het exces genoemd. Oftewel in boldriehoek ABC:
exces = ÐA + ÐB + ÐC - p

Stelling:

In een willekeurige boldriehoek met straal 1 is de oppervlakte gelijk aan het exces.

Deze gaan we bewijzen

Gegeven:

Boldriehoek ABC op een bol met r = 1
a = ÐBAC
b = ÐABC
g = ÐACB

Te bewijzen:

a + b + g = Opp(ABC) + p

Bewijs:

A' is het diametrale punt van A
B' is het diametrale punt van B
C' is het diametrale punt van C

NB: Het diametrale punt ligt precies aan de andere kant van de bol.

Voor de duidelijkheid even een figuur:



De boltweehoek AA', die je krijgt door boldriehoeken ABC en A'BC samen te nemen, is a/(2p)de deel van de bol.

Opp.(bol) = 4p

Opp.(boltweehoek AA') = 4p·a/(2p) = 2a Þ

Opp.(ABC) + Opp.(A'BC) = 2a

Analoog vinden we:

Opp.(ABC) + Opp.(AB'C) = 2b
Opp.(ABC) + Opp.(ABC') = 2g

Tel de formules bij elkaar op zodat je krijgt:

2a + 2b + 2g = 3·Opp.(ABC) + Opp.(A'BC) + Opp.(AB'C) + Opp.(ABC')

Met behulp van puntsymetrie in het middelpunt van de bol kun je zien dat:

Opp.(ABC') = Opp.(A'B'C)

Je krijgt dan:

2a + 2b + 2g = 3·Opp.(ABC) + Opp.(A'BC) + Opp.(AB'C) + Opp.(A'B'C)

Opp(ABC) + Opp(A'BC) + Opp(AB'C) + Opp(A'B'C) is nu de oppervlakte van de halve bol. En dus gelijk aan 2p. En dus geldt:

2a + 2b + 2g = 2·Opp(ABC) + 2p

Aan beide kanten delen door twee geeft:

a + b + g = Opp(ABC) + p
Q.e.d

Waar het allemaal om te doen was

Omdat een boldriehoek altijd een (positieve) oppervlakte heeft volgt hier direct uit dat het exces (=hoekoverschot) postief is. En dus is de som van de drie hoeken van een boldriehoek altijd groter dan p.

Gerben
woensdag 16 juni 2004

©2001-2024 WisFaq